Дифракция Фраунгофера (в параллельных лучах)

При рассмотрении дифракции Френеля нельзя пренебрегать кривизной поверхности дифрагированных (а иногда и падающих на препятствие) волн.

Другой тип дифракции — дифракция Фраунгофера (Й. Фраунгофер, 1787—1826), наблюдаемая в параллельных лучах (плоские волны),— имеет место, если точка наблюдения (иногда и источник света) бесконечно удалена от препятствия, на котором происходит дифракция. Практически это достигается наблюдением дифракционной картины в фокальной плоскости собирающей линзы, расположенной за препятствием. При этом освещенность может быть сделана гораздо больше, чем при дифракции Френеля, благодаря чему дифракция Фраунгофера имеет большое практическое применение.

Рассмотрим простейший случай — дифракцию на одной щели, сделанной в непрозрачном экране (рис. 4.7).

Рис. 4.7

Пусть ширина щели равна h; протяженность ее в направлении, перпендикулярном чертежу, будем считать неограниченной. На щель слева падает плоская волна под нулевым углом падения. Расположим за щелью экран для наблюдения, поместив его в фокальной плоскости собирающей линзы с фокусным расстоянием F.

Вторичное излучение щели можно представить совокупностью параллельных пучков лучей всевозможных направлений, характеризуемых углами а (см. рис. 4.7). Лучи, идущие под нулевым углом, параллельны главной оптической оси линзы и собираются ею в главном фокусе. При этом, так как линза не создает разности хода, фазы всех колебаний в главном фокусе О одинаковы, поэтому центральный максимум (при освещении щели белым светом) также оказывается белым.

Для наклонных пучков лучей дело обстоит сложнее. Проведем плоскость, нормальную пучку, идущему под углом α (ВС — ее след, см. рис. 4.7). Начиная от этой плоскости вправо до побочного фокуса О1 где собирается этот пучок, дополнительной разности хода не создается. Но на плоскости ВС лучи уже имеют разность хода; для лучей, идущих от точек В и С, она максимальна и равна:

(4.6)

Вообразим еще несколько вертикальных плоскостей, параллельных выбранному направлению лучей. Пусть они проходят через лучи, между которыми имеется разность хода λ/2. Они разделят поверхность щели на узкие равновеликие прямоугольные зоны Френеля с длинной стороной, параллельной краям щели. Число образовавшихся зон, очевидно, равно n (из последнего уравнения). Условием минимума света в точке О1 фокальной плоскости является выполнение равенства:

(4.7)

т. е. разбиение щели на четное число зон Френеля: их действия взаимно уничтожаются, и в соответствующих направлениях получается минимум освещенности (темнота). Так как А зависит от длины волны, то при освещении щели белым светом по обе стороны от белого центрального максимума (А=0) симметрично располагаются цветные изображения щели (спектры), обращенные к центральному максимуму фиолетовыми концами.

Найдем теперь распределение освещенности в фокальной плоскости. Пусть напряженность электрического поля падающей волны в плоскости щели меняется по закону:

Тогда вклад участка шириной dx в поле плоской волны, идущей под углом а, есть:

где волновое число

Суммарное поле в этом направлении определится так:

Вводя новую переменную

получим после интегрирования:

(4.8)

или, обозначив:

получим окончательно для амплитуды напряженности электрического поля в направлении а:

Интенсивность света пропорциональна квадрату этого выражения:

При а=0 Ɵ=0, и потому

Мы уже видели раньше, что этот результат не зависит от длины волны. Минимумы света получаются при условии:

что также было получено выше. Между минимумами располагаются боковые максимумы в направлениях, для которых отношение максимально. Расчет показывает, что максимумам соответствуют углы:

В первом приближении можно считать условие максимума более простым:

 

Рис 4.8

При этом интенсивность быстро падает с увеличением номера максимума. Если интенсивность при α=0 (для монохроматического света) принять за 100, то интенсивности следующих максимумов таковы: 4,7; 1,7; … .

Следовательно, подавляющая часть светового потока собирается в пределах центрального максимума, т. е. в пределах угла

Рис 4.9

На рисунке 4.8 показана дифракционная картина, даваемая прямоугольной щелью конечных размеров (высота щели вдвое больше ее ширины). При этом дифракционная картина растянута по горизонтали больше, чем по вертикали, так как дифракция тем заметнее, чем уже освещаемый участок. При круглом отверстии радиусом ρ дифракционная картина обладает круговой симметрией. Распределение интенсивности света в направлении α от оси круглого отверстия зависит от величины

Для ρ=6 мм, λ=0,6 мкм, т. е. для λ/ρ=10-4, это распределение изображено на рисунке 4.9.

При этом направление на первый минимум определяется условием:

Если дифракция происходит на одном отверстии, то практически весь световой поток можно считать сосредоточенным в пределах центрального максимума.