Дисперсия в волноводах

В «Электричестве и магнетизме» (§ 12.3) была рассмотрена двухпроводная линия. Распространяющаяся в ней электромагнитная волна была чисто поперечна и имела скорость с, Одинаковую для всех длин волн. Такая же поперечная волна может распространяться и в коаксиальном кабеле.

В радиотехнике сверхвысоких частот (до частот порядка 3 x 1011 Гц) для передачи мощности широко применяются волноводы — полые металлические трубы. Они обладают меньшими потерями и большей электрической прочностью (т. е. в них пробой наступает при больших напряженностях поля), чем коаксиальные кабели. Но в волноводах наблюдается сильная дисперсия, причем слишком длинные волны (см. ниже) вообще не могут в них распространяться. Для понимания этой особенности рассмотрим сначала две плоские бегущие волны I и II, распространяющиеся в вакууме перпендикулярно оси ординат выбранной координатной системы и имеющие электрические поля с одинаковой постоянной амплитудой Еу.

Пусть волны распространяются под углами θ и —θ к оси z. На рисунке 8.4 показана часть волнового поля (в плоскости xOz); лучи, соответствующие обеим волнам, отмечены соответственно стрелками с белым и черным оперением. Электрические поля волн описываются следующими уравнениями:

Статья 479 - Картинка 1

В результате их суперпозиции получается поле с напряженностью

Статья 479 - Картинка 2 (8.16)

т. е. волна, «модулированная по фронту», параллельному оси х (см. § 4.6), и распространяющаяся вдоль оси г; волновое число kz=k cos θ.

Период пространственной модуляции по фронту волны определяется условием:

Статья 479 - Картинка 3 (8.17)

Так как в плоскостях х =-d/4 и x=+d/4 E≡0, то здесь можно расположить металлические листы, не нарушая распределения поля. Тогда процесс распространения волны между этими листами сведется к отражению первичных плоских волн от этих листов.

Далее, так как вектор Статья 479 - Картинка 4электрического поля нормален к плоскостям y= const, то металлические листы можно расположить также, например, в плоскостях у = b/2 и y = b/2. Обычно выбирают b < d/2 чтобы устранить возможность возникновения поля с напряженностью Ех.

Статья 479 - Картинка 5

Рис 8.4

Статья 479 - Картинка 6

Рис 8.5

Таким образом, получается прямоугольный волновод (рис. 8.5). В его сечении хОу электрическое поле распределено по гармоническому закону вдоль стороны d/2. Вдоль оси у оно имеет постоянную амплитуду. В осевом сечении волновода (уОz) электрическое поле распределено по закону бегущей волны (8.16); его мгновенное состояние изображено на рисунке 8.6, а. Структура магнитного поля более сложна; так как линии магнитной индукции Статья 479 - Картинка 7 должны охватывать линии электрической напряженности, то они по необходимости приобретают продольную составляющую Статья 479 - Картинка 8z и имеют также поперечную составляющую Статья 479 - Картинка 7х. Мгновенная картина линий Статья 479 - Картинка 7 показана на рисунке 8.6,6. Рисунок 8.6, а, б соответствует одному и тому же моменту времени.

Перейдем теперь к рассмотрению дисперсии в волноводе.

Статья 479 - Картинка 11

Рис 8.6

Из уравнения (8.16) следует, что волновое число kz, характеризующее скорость волны в направлении оси z, равно:

Статья 479 - Картинка 12 (8.18)

Следовательно, фазовая скорость по этой оси есть

Статья 479 - Картинка 13 (8.19)

Она равна с при очень коротких волнах, увеличивается по мере увеличения длины волны и стремится к бесконечности при «критической длине волны» (в вакууме):

Статья 479 - Картинка 14

Для еще более длинных волн скорость делается мнимой, что означает поглощение этих волн. Смысл этого ясен: при λ=λкр угол λ=θ обращается в прямой, т. е. волны, образующие волну в волноводе, просто претерпевают многократные отражения от стенок волновода, не перемещаясь вдоль оси последнего.

Пользуясь (8.7) и (8.17), найдем групповую скорость. Так как

Статья 479 - Картинка 15

то получается:

Статья 479 - Картинка 16 (8.20)

т. е. групповая скорость меньше скорости света в вакууме и частотно зависима (дисперсия). Заметим, что для волновода, как и для некоторых других систем, обладающих дисперсией, существует простое соотношение:

Статья 479 - Картинка 17

Рассмотренный случай поучителен в том отношении, что он обнаружил возникновение продольной составляющей у электромагнитной волны, распространяющейся не свободно.