Формулы Френеля

Для нахождения соотношения между амплитудами рассмотрим I начала волну с электрическим вектором, перпендикулярным плоскости падения Статья 439 - Картинка 1 и Статья 439 - Картинка 2(рис. 2.3, а).

При выбранных положительных направлениях векторов Статья 439 - Картинка 3 и Статья 439 - Картинка 2 (напомним, что векторы Статья 439 - Картинка 3, Статья 439 - Картинка 2, Статья 439 - Картинка 7 образуют правую тройку) применение граничных условий дает:

Статья 439 - Картинка 8

или

Статья 439 - Картинка 9

Складывая эти уравнения, получаем:

Статья 439 - Картинка 10

Потому амплитудный коэффициент пропускания оказывается равным:

Статья 439 - Картинка 11 (2.10)

Определив Е1 находим амплитудный коэффициент отражения:

Статья 439 - Картинка 12 (2.11)

Так как сечения падающей, отраженной и преломленной волн панны соответственно (рис. 2.3, в):

Статья 439 - Картинка 13

то энергетический коэффициент отражения равен:

Статья 439 - Картинка 14 (2.12)

Пользуясь выражением (2.4), находим энергетический коэффициент пропускания:

Статья 439 - Картинка 15 (2.13)

При этом, конечно, выполняется закон сохранения энергии:

Статья 439 - Картинка 16

Пусть теперь волна имеет электрический вектор в плоскости падения (Статья 439 - Картинка 17 ). Пользуясь рис. 2.3, б, находим:

Статья 439 - Картинка 18 (2.14)

Статья 439 - Картинка 19 (2.15)

Складывая эти уравнения, получаем:

Статья 439 - Картинка 20 (2.16)

Далее, беря отношение уравнений (2.11) и (2.12), находим:

Статья 439 - Картинка 21

поэтому

Статья 439 - Картинка 22 (2.17)

Энергетические коэффициенты равны соответственно:

Статья 439 - Картинка 23 (2.18)

Статья 439 - Картинка 24 (2.19)

конечно, и здесь

Статья 439 - Картинка 25

Соотношения (2.10, 2.11, 2.16 и 2.17) называются формулами Френеля. Впервые они были получены Френелем, создавшим задолго до Максвелла механическую теорию света.

Из уравнения (2.17) получается замечательное следствие: при условии

Статья 439 - Картинка 26

что равносильно требованию

Статья 439 - Картинка 27

отражение должно полностью отсутствовать. Это так называемый закон Брюстера; мы встретимся с ним в главе 7, посвященной вопросам поляризации света.

Наконец, рассмотрим нормальное падение волны (α → 0). В этом случае положение плоскости поляризации делается неопределенным. Переписав соотношение (2.11) в виде

Статья 439 - Картинка 28

и перейдя к пределу, получим:

Статья 439 - Картинка 29

Таким же предельным переходом легко получить R|| и убедиться, что

Статья 439 - Картинка 30

как и следовало ожидать.

При n1<n2 получается Статья 439 - Картинка 31 Это значит, что фаза отраженной волны противоположна фазе падающей (электрическая волна при отражении «теряет полволны»).

С подобным явлением мы сталкивались в механике для волны смещения при отражении ее от закрепленного конца шнура или от среды с большим акустическим сопротивлением (с большей акустической плотностью). Поэтому и в оптике среду Статья 439 - Картинка 32 называют «оптически более плотной».

Если волна падает из вакуума (n= 1), то величина

Статья 439 - Картинка 33 (2.20)

называется отражательной способностью среды. Соответствующая ей величина

Статья 439 - Картинка 34 (2.21)

называется поверхностной прозрачностью вещества.

Выражения (2.20) и (2.21) не изменяются при изменении направления падающего луча на противоположное, в чем легко убедиться, заменив n2 на 1/n2. Таким образом, принцип обратимости луча, часто применяемый в геометрической оптике, верен не только в отношении направления рассматриваемых лучей, но и в отношении распределения энергии между ними. К этому мы еще вернемся в §5.14.