Формулы Френеля

Для нахождения соотношения между амплитудами рассмотрим I начала волну с электрическим вектором, перпендикулярным плоскости падения и (рис. 2.3, а).

При выбранных положительных направлениях векторов и (напомним, что векторы , , образуют правую тройку) применение граничных условий дает:

или

Складывая эти уравнения, получаем:

Потому амплитудный коэффициент пропускания оказывается равным:

(2.10)

Определив Е1 находим амплитудный коэффициент отражения:

(2.11)

Так как сечения падающей, отраженной и преломленной волн панны соответственно (рис. 2.3, в):

то энергетический коэффициент отражения равен:

(2.12)

Пользуясь выражением (2.4), находим энергетический коэффициент пропускания:

(2.13)

При этом, конечно, выполняется закон сохранения энергии:

Пусть теперь волна имеет электрический вектор в плоскости падения ( ). Пользуясь рис. 2.3, б, находим:

(2.14)

(2.15)

Складывая эти уравнения, получаем:

(2.16)

Далее, беря отношение уравнений (2.11) и (2.12), находим:

поэтому

(2.17)

Энергетические коэффициенты равны соответственно:

(2.18)

(2.19)

конечно, и здесь

Соотношения (2.10, 2.11, 2.16 и 2.17) называются формулами Френеля. Впервые они были получены Френелем, создавшим задолго до Максвелла механическую теорию света.

Из уравнения (2.17) получается замечательное следствие: при условии

что равносильно требованию

отражение должно полностью отсутствовать. Это так называемый закон Брюстера; мы встретимся с ним в главе 7, посвященной вопросам поляризации света.

Наконец, рассмотрим нормальное падение волны (α → 0). В этом случае положение плоскости поляризации делается неопределенным. Переписав соотношение (2.11) в виде

и перейдя к пределу, получим:

Таким же предельным переходом легко получить R|| и убедиться, что

как и следовало ожидать.

При n1<n2 получается Это значит, что фаза отраженной волны противоположна фазе падающей (электрическая волна при отражении «теряет полволны»).

С подобным явлением мы сталкивались в механике для волны смещения при отражении ее от закрепленного конца шнура или от среды с большим акустическим сопротивлением (с большей акустической плотностью). Поэтому и в оптике среду называют «оптически более плотной».

Если волна падает из вакуума (n= 1), то величина

(2.20)

называется отражательной способностью среды. Соответствующая ей величина

(2.21)

называется поверхностной прозрачностью вещества.

Выражения (2.20) и (2.21) не изменяются при изменении направления падающего луча на противоположное, в чем легко убедиться, заменив n2 на 1/n2. Таким образом, принцип обратимости луча, часто применяемый в геометрической оптике, верен не только в отношении направления рассматриваемых лучей, но и в отношении распределения энергии между ними. К этому мы еще вернемся в §5.14.