Классическая теория дисперсии

Особенности преломления света на границе раздела двух сред свидетельствуют о том, что скорость света при переходе из одной среды в другую изменяется, причем неодинаково для различных частот. Зависимость скорости света от частоты называют дисперсией.Кроме того, любая среда (за исключением вакуума) обладает тем или иным поглощением.

Качественное классическое объяснение этих фактов таково: приходящая волна приводит электроны атомов (или молекул) вещества в вынужденные колебания. Вторичные волны, излучаемые электронами, отличаются по фазе от приходящей волны и, складываясь с нею, создают волну, распространяющуюся в среде. Так как вполне возможно, что вторичное излучение лишь частично возмещает потерю энергии, поглощенной электронами, то при этом процессе переизлучения получается и некоторое поглощение.

Приближенная теория дисперсии может быть создана, если считать электрон в атоме упруго связанным с положительным зарядом ядра. Пусть в веществе создается внешнее электрическое поле напряженностью

(8.1)

Уравнение движения (вынужденных колебаний) электрона имеет вид (см. «Механику», уравнение 7.35):

где ей т — соответственно заряд и масса электрона, D — «упругая» постоянная, r— коэффициент сопротивления, еЕ — внешняя сила, действующая на электрон. Приводя уравнение к стандартной форме, получим:

где

0 - частота свободных колебаний электрона в атоме). Полагая х=х ехр (jωt), после несложных преобразований будем иметь:

Но из электродинамики известно, что поляризация Р = Nex (N - концентрация электронов) и электрическое смещение

Поэтому находим:

(8.2)

Разделим действительную и мнимую части:

(8.3)

В этом уравнении и содержится вся элементарная классическая электронная теория дисперсии.

Комплексность е означает, что в веществе происходят два процесса: изменяется скорость распространения волны и возникает ее поглощение. Поэтому если плоская волна распространяется в направлении оси z, то она будет описываться уравнением:

(8.4)

где n— показатель преломления, k — коэффициент поглощения.

Перейдем к анализу уравнения (8.3). При очень низких частотах (ω<<ω0) и небольших затуханиях (α мало) получается:

т. е. показатель преломления постоянен, поглощение практически отсутствует (рис. 8.1). При очень высоких частотах (ω>>ω0)

т. е. показатель преломления, меньший единицы, растет с частотой; поглощение снова ничтожно мало.

Рис 8.1

Значения n<1 наблюдались на опыте для рентгеновских лучей.

Вблизи резонанса (ω=ω0) частотный ход обоих коэффициентов усложняется (см. рис. 8.1), поглощение становится значительным. При росте частоты показатель преломления сначала растет (нормальная дисперсия), проходит через максимум и резко падает (аномальная дисперсия). В области аномальной дисперсии поглощение велико, и наблюдать дисперсию очень трудно.

Рис. 8.2

Остроумный способ наблюдения кривой n=f(ω) был предложен Ньютоном (метод скрещенных призм). На рисунке 8.2 воспроизведен подлинный чертеж Ньютона. Лучи от Солнца S проходят через малое круглое отверстие F в непрозрачном ставне окна- EG и дают на белой стене изображение Солнца Y. Если на их пути поставить призму ABC, имеющую преломляющее ребро, перпендикулярное чертежу, то она даст спектр РТ, верхний конец которого QK соответствует синему, нижний конец VN—красному свету. Если же заставить лучи пройти через призму с вертикальным преломляющим ребром DH, то она растянет спектр по горизонтали, причем получится кривая цветная полоса pt; верхний конец ее синий (qk), нижний — красный (un), так как наблюдается нормальная дисперсия стекла призм.

Метод сохранил практическое значение до нашего времени.

Так как уравнение плоской бегущей волны в поглощающей среде (8.4) содержит показательный множитель, а интенсивность волны пропорциональна квадрату амплитуды, то закон поглощения имеет вид:

где I0— интенсивность в плоскости z=0.

При поглощении света в сильно разбавленных растворах выполняется условие:

k=AC,

где С — концентрация; величина А меняется с длиной волны, но от концентрации не зависит.

До сих пор при объяснении дисперсии мы рассматривали простейший случай одинаковых вынужденных колебаний электронов в атомах. Если в веществе имеются электроны с различными характерными собственными частотами ω0 и движение их описывается различными коэффициентами затухания α, то в выражении (8.4) появится сумма членов, отвечающих разным частотам; ход показателей преломления и поглощения соответственно усложнится.

В диэлектриках обычно наблюдаются линии поглощения, обусловленные упруго связанными электронами, лежащие в видимой области спектра. При более низких частотах появляются линии, обусловленные колебаниями ионов (инфракрасные), обладающих в твердых телах определенными положениями равновесия. В области сантиметровых и еще более длинных волн диэлектрики обычно обладают малым поглощением.

В металлах существуют электроны проводимости, не имеющие упругих связей и способные совершать нерезонансные вынужденные колебания. Поэтому металл обладает поглощением при любых частотах. Но это поглощение сравнительно невелико, так как определяющийся наличием свободных электронов коэффициент отражения у металла значителен - до 95% (характерный «металлический блеск»).

Конечно, классическая электронная теория дисперсии является лишь первым приближением. Тем не менее она дает удовлетворительные результаты.