Постулаты Бора. Спектр Водорода

В 1913 г. ученик Резерфорда — Нильс Бор (1885—1962) попытался объяснить загадку линейчатых спектров, основываясь на резерфордовской модели атома, но введя постулаты, противоречащие классическим представлениям.

С классической точки зрения в случае одноэлектронного атома (водород) или водородоподобного иона с зарядом ядра Ze при обращении электрона по орбите радиусом ρ его полная энергия должна равняться:

(13.4)

При этом кулоновская сила взаимодействия электрона с ядром обеспечивает движение электрона с угловой скоростью

Таким образом, для полной энергии электрона поручается:

(13.5)

Отсюда можно найти классическое значение частоты обращения электрона, равное частоте излучаемого им света:

(13.6)

При этом никаких ограничений на радиусы (и, следовательно, на частоты излучения) не накладывается.

Бор, сохранив силовые и энергетические характеристики движения электрона, сформулировал следующие ограничивающие его движение постулаты:

1. В резерфоцдовском атоме существуют устойчивые (стационарные) орбиты, двигаясь по которым электрон не излучает. Для этих стационарных состояний момент механического импульса электрона кратен величине h/2π:

(13.7)

где h — постоянная Планка, n— целое число (1, 2, 3,...). В этих состояниях энергия электрона не изменяется со временем.

Используя первый постулат Бора, легко привести выражение (13.5) к следующему виду:

(13.8)

Стационарное состояние с наименьшей энергией (n=1) называется нормальным или невозбужденным состоянием атома. Под действием внешних причин атом может перейти в состояние с большей энергией (n>1); такие состояния называются возбужденными. Затем атом самопроизвольно переходит в состояние с меньшей энергией или в невозбужденное, создавая при этом излучение. Большей частью это происходит через 10-8—10-7 с после возбуждения.

Таким образом, энергия атома оказывается квантованной.

2. При переходе из стационарного состояния с квантовым числом р в состояние с квантовым числом я (самопроизвольно, если р>n, или вынужденно, если р<n) атом соответственно излучает или поглощает один фотон hv частота фотона определяется из закона сохранения энергии

Wp-Wn=hν

и равняется:

(13.9)

Уравнение (13.9) соответствует формуле Бальмера. Подсчитывая коэффициент при скобке, находим:

что соответствует экспериментальному значению (13.1).

3. При больших квантовых числах n частоты, вычисляемые по уравнению (13.9), совпадают с частотами, вычисляемыми классическим способом (13.7),— в этом утверждении Бора заключается весьма общий принцип соответствия, согласно которому классические представления являются предельным случаем квантовых. Действительно, из (13.9) при большом n и р=n+1 получим:

(13.10)

Но квантованные радиусы подчиняются условию, получаемому из (13.5) и (13.7) путем исключения из них скорости v:

(13.11)

При Z=1 и n= 1 получается первый боровский радиус орбиты, наименьший из всех возможных и равный:

(13.12)

Умножив (13.10) на 2π, возведя в квадрат и подставив ρ из (13.11), получим значение ω2, совпадающее с (13.6). Полагая (при Z=1) квантовое число n=10, находим из (13.10):

что соответствует инфракрасному излучению, действительно даваемому водородом. При n=1 и p→∞ из (13.1) получается наибольшая возможная частота излучения:

Для водорода в соответствии с опытными данными получается:

что отвечает ультрафиолетовым частотам. Таким образом, водород не дает более высокочастотного (рентгеновского) излучения вследствие слишком слабой связи его электрона с ядром.

Рис 13.2

На рисунке 13.2 схематически изображены «энергетические уровни» атома водорода. Горизонтальные линии отвечают энергиям стационарных состояний для первых пяти значений квантового числа n. Расстояния между уровнями пропорциональны разностям энергий, освобождающихся при переходах электрона, изображенных стрелками. При поглощении атомом энергии направление стрелок следует изменить на противоположное. По горизонтальной оси не отложена никакая физическая величина — чертеж развернут по горизонтали просто для наглядности.

По мере роста n разность энергий соседних состояний уменьшается, линии в спектре сближаются. Если электрон удаляется под внешним воздействием с орбиты n=1 за пределы атома (n→∞, ионизация атома), то при этом должна совершаться работа, равная A = hvmax.

Если эту работу выразить в электронвольтах, то получится «потенциал ионизации» атома:

который для водорода равен 13,5 В, что прекрасно совпадает с опытными данными.

Из водородоподобных атомов остановимся на ионизированном гелии. В его спектре была выделена серия Пикеринга, описываемая уравнением

что можно представить в виде

Отсюда следует, что для n=6, 8, . . . должны получаться линии, совпадающие с водородными линиями бальмеровской серии. Опыт подтвердил эти совпадения с хорошей точностью; незначительные расхождения в частотах удалось объяснить влиянием массы ядра — предположение, что электрон вращается вокруг неподвижного ядра, нужно заменить утверждением, что ядро и электрон вращаются вокруг общего центра масс.