Преломление на сферической поверхности. Тонкие линзы

Преломление на плоской границе раздела оставляет плоскую волну плоской и изменяет кривизну сходящейся (или расходящейся) волны, но не может превратить расходящуюся волну в сходящуюся или плоскую. Преломление на кривой поверхности позволяет превращать расходящуюся волну в сходящуюся (и обратно). Для этой цели применяются, в частности, линзы — комбинации двух сферических поверхностей.

Рис. 5.12

На рисунке 5.12 изображены две сферические поверхности радиусами R1 и R2, ограничивающие линзу с показателем преломления n2. Слева и справа от нее находится безграничная среда с показателем преломления n1<n2 (будем считать свет - монохроматическим). Прямая, проходящая через центры обеих сфер O1 и O2, называется главной оптической осью линзы. Пусть светящаяся точка находится в S1. Луч S1O1 проходит систему без преломления. Рассмотрим теперь произвольный луч SH. Преломившись на границе, он пойдет в направлении АВ; если бы второй сферической поверхности не было, то луч пересек бы оптическую ось в точке S', на расстоянии AS'=f от передней границы раздела. Введем правило знаков: отрезки, лежащие справа от границы раздела, будем считать положительными, слева — отрицательными. Тогда теорема площадей для треугольников S1AS', S1AO1 и O1AS' дает:

После простых тригонометрических преобразований и деления этого выражения на получим, учитывая закон преломления:

(5.9)

Таким образом, для широких пучков света каждому углу отвечает свой угол у1( и пучок, вышедший из одной точки предмета, не соберется в одну точку в пространстве изображений. Если же ограничиться рассмотрением осевых лучей пучков (малые at), уравнение (5.9) примет вид:

(5.10)

свидетельствующий о схождении узкого осевого пучка в одной точке.

Если среда 2 имеет вторую сферическую границу с центром, расположенным в точке O2, то получается двояковыпуклая линза (толщина ее растет к середине). При-этом ход луча до точки В остается прежним, но на второй границе луч еще раз преломляется и пересекает главную оптическую ось в точке S2. Луч же S1S', идущий вдоль главной оси, проходит границу раздела без преломления.

Теперь точка S' является (для границы II) мнимым источником света. Вводя обозначения:

и рассматривая треугольники 02BS2, 02BS' и BS2S' получаем для осевых пучков уравнение, подобное (5.9):

(5.11)

Так как нас интересует связь между расстояниями f1 и f2, то, сложив уравнения (5.10) и (5.11),получим:

(5.12)

Мы рассматриваем только узкие пучки, поэтому отрезки можно (и нужно!) отсчитывать вдоль главной оптической оси. В этом случае оказывается, что величина d= |f"—f | представляет просто наибольшую толщину линзы. Потребуем, наконец, чтобы отрезки f1, f2, R1, R2были много больше d (что обычно и выполняется в практике использования линз). Тогда можно пренебречь последним слагаемым левой части (5.12) и получить основное соотношение для «тонкой» линзы:

(5.13)

где , — относительный показатель преломления. Это соотношение позволяет по заданным свойствам линзы и положению предмета найти положение изображения.