Представление нечетких знаний - Моделирование неопределенности в рассуждениях

Рассмотрим ситуацию. Пусть используется правило

если (А), то (В),

предположим, что никакие другие правила и посылки не имеют отношения к рассматриваемой ситуации.

Неопределенность может быть двух типов:

·        неопределенность в истинности самой посылки (например, если степень уверенности в том, что A истинно составляет 90%, то какие значения примет В);

·        неопределенность самого правила (например, мы можем сказать, что в большинстве случаев, но не всегда, если есть А, то есть также и В).

Еще более сложная ситуация возникает в случае, если правило имеет вид:

если (А и В), то (С), 

где мы можем с некоторой степенью быть уверены как в истинности каждой из посылок (А, В), а тем более их совместного проявления, так и в истинности самого вывода.

Существуют четыре проблемы, которые возникают при проек­ти­ро­вании и создании систем с неопределенными знаниями:

1.     Как количественно выразить степень определенности при установлении истинности (или ложности) некоторой части данных?

2.     Как выразить степень поддержки заключения конкретной посылкой?

3.     Как использовать совместно две (или более) посылки, независимо влияющие на заключение?

4.     Как быть в ситуации, когда нужно обсудить цепочку вывода для подтверждения заключения в условиях неопределенности?

Рассмотрим возможности использования теории вероятности при выводе в условиях неопределенности — байесовское оценивание.

Для рассмотрения теоремы Байеса приведем некоторые фун­да­мен­таль­ные понятия теории вероятностей.

Пусть А некоторое событие реального мира. Совокупность всех элементарных событий называется выборочным пространством или пространство событий W. Вероятность события А, обозначается р(А) и каждая вероятностная функция р должна удовлетворять трем аксиомам:

1. Вероятность любого события А является неотрицательной, то есть

p(A) ? 0  для " A ? W.

2. Вероятность всех событий выборочного пространства равна 1, то есть

p(W)=1.

3. Если k событий А₁, А₂, … , А_k являются взаимно независимыми (то есть не могут подойти одновременно), то вероятность, по крайней мере, одного из этих событий равна сумме отдельных вероятностей, или   

.

 Аксиомы 1 и 2 можно объединить, что дает

0 ?  p(A) ? 1  для " A ? W.

Это утверждение показывает, что вероятность любого события на­хо­дит­ся между 0 и 1. По определению, когда р(А) = 0, то событие А ни­ког­да не произойдет. В том случае и когда р(А) = 1 , то событие А должно про­и­зой­ти обязательно. Дополнение к А, обозначаемое (¬A), содержит со­во­куп­ность всех за исключением А. Так как А и ¬A являются взаимонезависимыми (то есть W событий в  А? ¬A= W) то из аксиомы 3 следует   

р(А) + р(¬A) = р(А ? ¬A) = р(W ) = 1 .

Переписывая это равенство в виде р(¬A) = 1 – р(А), мы получает путь для получения р(¬A) из р(А). Предположим теперь, что В ? W некоторое дру­гое событие. Тогда вероятность того, что произойдет А при условии, что произошло В записывается в виде р(А | B) и называется условной ве­ро­ят­ностью события А при заданном событии В. Вероятность того, что оба события А и В произойдут р(А?В) называется совместной вероят­ностью событий А и В. Условная вероятность р(А|B) равна отношению совместной вероятности р(А?В) к вероятности события В, при условии, что она не равна 0, то есть  

.

 Аналогично условная вероятность события В при условии А, обозначаемая р(В | А) равна

и таким образом 

p(B?A) = p(B|A)   p(A).

Так как совместная вероятность коммутативна (то есть от перестановки мест сумма не меняется), то

p(A?B)= p(B?A)= p(B|A)   p(A).

Подставляя это равенство в ранее полученное выражение для условной вероятности р(А| В ) получим правило Байеса

.

В ряде случае наше знание того, что произошло событие B, не влияет на вероятность события A (или наоборот A на B). Другими словами, ве­ро­ят­ность события А не зависит от того, что произошло или нет событие В, так что  р(А | В) = р(А) и р(В | А) = р(В).  В этом случае говорят, что собы­тия А и В являются независимыми.

 Приведенные выше соотношения предполагают определенную связь между теорией вероятностей и теорией множеств. Если А и В являются не­пересекающимися множествами, то объединение множеств соответствует сумме вероятностей, а пересечение — произведению веро­ят­ностей, то есть  

р(А ? В) = р(А) + р(В),

р(А ? В) = р(А) ? р(В).

Без предположения независимости эта связь является неточной и формулы должны содержать дополнительные члены включения и исклю­че­ния (так например, р(А?В)=р(А)+ р(В) – р(А?В) ). Продолжая тео­ре­ти­ко-множественное обозначение B можно записать как

В = (В ? А) ? (В ? ¬A).

Так как это объединение явно непересекающееся, то    

р(В)=р((В?А)?(В?¬A))=р(В?А)+ р(В?¬A) = р(В|А) р(А) + р(В|¬A)р(В)

Возвращаясь к обозначению событий, а не множеств, последнее равенство может быть подставлено в правило Байеса

.

 Это равенство является основой для использования теории вероятности в управлении неопределенностью. Оно обеспечивает путь для получения условной вероятности события B при условии А. Это соотношение позволяет управлять неопределенностью и «делать вывод «вперед и назад».

Не­о­пре­де­ленность можно про­мо­де­ли­ро­вать, приписывая утвержде­ни­ям некоторые характеристики, отличные от «истина» или «ложь». Сте­пень уверенности может выражаться в фор­ме действительного числа, за­клю­ченного в некотором интервале, например между –1 и +1. Такую чис­ло­вую характеристику называют по-разному: коэффициент оп­ре­де­лен­ности, коэффициент уверенности, степень доверия. Границы интервала обозначают следующее:

+1 — система в чем-то полностью уверена;

  0 — у системы нет знаний об обсуждаемой величине;

–1 — высказанная посылка или заключение полностью неверно.

Промежуточные величины отражают степень доверия или недоверия к указанным ситуациям. Коэффициент неопределенности в выводимом за­клю­чении представляет собой число, которое должно объединить и от­ра­зить источники внутренних ошибок.

Приведем схему приближенных рассуждений, реализованную в MYCYN, и в дальнейшем в EMYCIN.

Основной вычислительный прием, который используется для нахождения коэффициента определенности сводится к следующему:

t(заключение) = ct(посылка)*ct(импликация).

Для импликации вида

ЕСЛИ (е1 и е2)  ТО (с)

согласно оценке, сделанной в EMYCIN, коэффициент опреде­лен­ности посылки равен коэффициенту определенности наименее надежной из посылок, то есть

ct(e1 и e2)= min(ct(e1), ct(e2)).

Для

ЕСЛИ (е1 или е2)  ТО (с)

общее правило комбинирования, по которому вычисляется коэффициент определенности посылки, заключается в том, что коэффициент определенности дизъюнкции равен   коэффициенту ее сильнейшей части, то есть

ct(e1 или e2)= max(ct(e1), ct(e2)).

В случае, когда используются два правила для поддержки, например:

ЕСЛИ (е1) ТО (с)   ct(заключения)=0.9

ЕСЛИ (e2) ТО (с)   ct(заключения)=0.8

Был предложен следующий механизм:

ctotal= коэффициент определенности из правила 1

      + коэффициент определенности из правила 2

      – (коэффициент определенности из правила 1)

         *(коэффициент определенности из правила 2)

При вычислении итоговых коэффициентов необходимо учитывать знаки. В EMYCIN был предложен следующий механизм.

1) если оба коэффициента определенности положительны:

  ctotal= ct1 + ct2 – ct1*ct2;

2) если оба коэффициента определенности отрицательны:

  ctotal= ct1 + ct2 + ct1*ct2;

3) когда отрицателен один коэффициент:

  ctotal= (ct1 + ct2)/ (1 – min(abs(ct1),abs(ct2));

4) когда одна определенность равна +1, а другая –1:

  ctotal= 0.

Помимо использования коэффициентов уверенности, в литературе опи­саны и иные подходы, альтернативные вероятностному. В частности, мно­го внимания уделяется нечеткой логике (fuzzy logic) и теории функций доверия (belieffunctions), что положило начало одной из ветвей ис­кусствен­ного  интеллекта — мягкие вычисления (soft computing).