Базовые концепции структуризации и формализации имитационных систем

Рассмотрим ряд моделей и методов, широко используемых в практике анализа сложных систем:

  • транзактно-ориентированный подход языка моделирования дискрет­ного типа GPSS;
  • сети кусочно-линейных агрегатов, моделирующие дискретные и непрерывно-дискретные системы;
  • сети Петри и их расширения, применяемые при структуризации причинных связей и моделировании систем с параллельными процессами, служащие для стратификации и алгоритмизации динамики дискретных и дискретно-непрерывных систем;
  • потоковые диаграммы и конечно-разностные уравнения системной динамики, являющиеся моделями непрерывных систем.

Изменения состава и состоя­ния в дискретных имитационных системах происходит в дискретные моменты времени, называемые событиями. Под событием понимается мгновенное изменение состояния модели, произошедшее в результате осуществления множества взаимодействий между компонентами модели в один и тот же момент имитационного времени.

Взаимосвязь между событиями, действиями и процессами представлена рис.4.1.

Рис. 4.1. Взаимосвязь между событиями, действиями и процессами

Функционирование дискретной системы можно описать:

  • определяя изменения состояния системы, происходящие в моменты свершения событий;
  • описывая действия, в которых принимают участие элементы системы;
  • описывая процесс, через который проходят элементы.

Процесс – это ориентированная во времени последовательность событий, которая может состоять из нескольких действий.

Эти представления лежат в основе трех альтернативных методологических подходов к построению дискретных имитационных моделей, называемых обычно:

  • событийный подход;
  • подход сканирования активностей (на практике получил небольшое распространение);
  • процессно-ориентированный подход (включает транзактный способ имитации).

Это основные концепции (схемы) структуризации для дискретных имитационных моделей. Их основа закладывается в некоторые языки и системы моделирования. Примерами могут служить языки моделирования:

  • GASP, SIMSCRIPT, ориентированные на события;
  • язык работ SLAM;
  • широко распространенные языки моделирования GPSS, SIMULA и др., предназначенные для описания параллельных процессов.

В 1961 г. Джеффи Гордон разработал язык моделирования GPSS (General Purpose Simulating System – моделирующая система общего назначения). Язык GPSS был языком, который определил современные технологические тенденции в дискретном имитационном моделировании и явился предвестником современных языков и систем моделирования дискретного типа, т.к. Extend, Arena, Process Model, Taylor, WITNESS и других современных коммерческих симуляторов. Эти тенденции предопределила, прежде всего, удачно сформированная базовая схема структуризации, заложенная в GPSS, поддерживающая блочно – ориентированный подход, в рамках которого моделирующий блок имеет свое функциональное назначение и представлен соответствующими функциональными объектами (имеющими аналоги с элементами систем массового обслуживания), а также возможности языка для описания параллельных процессов. Именно такой взгляд на моделируемый объект позволил реализовать идеографический режим формирования дискрет­ной модели, когда модель конструируется из стандартных функциональ­ных блоков, а связи на этих графических конструкциях интерпретируются как маршруты прохождения подвижных объектов в системе. В настоящее время на рынке информационных технологий представ­лены три направления, поддерживающие технологическое развитие базово­го языка GPSS:

  • корпорация Wolverine – GPSS/H и современное ее решение язык SLX;
  • корпорация Minuteman Software – GPSS World;
  • решения Стокгольмской школы высшей экономики – Micro GPSS, Web GPSS.

В языке GPSS реализована блочно-ориентированная концепция структуризации моделируемого процесса, разработанная с ориентацией на описание систем массового обслуживания (СМО).

Структура моделируемого процесса изображается в виде потока, проходящего через обслуживающие устройства (ОУ), очереди, ключи и другие элементы СМО.

Модель имеет блочную структуру. Моделируемый процесс представ­ляется как поток заявок в системе обслуживания. Блоки интерпрети­руются как обслуживающие устройства (каналы). Заявки (транзакты) конкурируют между собой за место в обслуживающем устройстве, образуют очереди перед ним, если каналы заняты. Дуги на блок-схеме – это потенциальные потоки заявок между обслуживающими устройствами. Существуют истоки и стоки этих заявок. В этом случае блок-схема модели описывает маршруты движения заявок в системе.

В рамках GPSS есть специальные средства, которые являются аналогами элементов систем массового обслуживания, такие как обслуживающие устройства, заявки, очереди. GPSS является гибкой языковой средой и позволяет моделировать не только СМО, но и другие системы.

GPSS – является системой дискретного типа. Система GPSS ориентирована на класс объектов, процесс функционирования которых можно представить в виде множества состояний и правил перехода из одного состояния в другое, определяемых в дискретной пространственно-временной области. GPSS позволяет описывать процессы с дискретными событиями.

Для регистрации изменений во времени существует таймер модельного времени. Механизм задания модельного времени по-событийный, с переменным шагом. Изменения в реальной системе приводят к появлению событий. Событие – это изменение состояния любого элемента системы. В системе происходят такие события, как:

  • поступление заявки;
  • постановка заявки в очередь;
  • начало обслуживания;
  • конец обслуживания и др.

В GPSS рассматриваются два класса событий:

  • основные - события, которые можно запланировать, то есть рассчитать момент их наступления заранее до их появления, например, момент появления заявки на входе;
  • вспомогательные - т.е. события, которые происходят вследствие появления основных событий. Вспомогательные события осуществляются в результате взаимодействия таких абстрактных элементов как блоки и транзакты, например, смена состояния прибора обслуживания со “свободен” на “занято”.

GPSS относится к классу процессно - (транзактно) - ориентированных систем моделирования. GPSS является способом алгоритмизации дискрет­ных динамических систем. Примеры моделируемых объектов: транспорт­ные объекты, производственные системы, торговые объекты, сети ЭВМ, системы передачи сообщений. Алгоритмическая схема может быть использована для оформления сложных формальных схем. Примеры формальных моделей таких объектов: СМО и стохастические сети, автоматы, сети Петри.

Функциональная структура GPSS рассматривается на двух уровнях.

Первый уровень определяется комбинацией основных функциональных объектов таких, как:

  • устройства;
  • памяти;
  • ключи (логические переключатели);
  • очереди;
  • транзакты.

Второй уровень – блок-схема модели, составленная из типовых блоков,
между которыми перемещаются транзакты.

Рассмотрим основные аппаратно-ориентированные, статистические и вычислительные объекты первого уровня.

Аппаратно ориентированные объекты:

Транзакты. Являются абстрактными подвижными элементами, которые являются аналогами различных объектов реального мира (сообщения, транспортные средства, люди, детали и т.д.) Это динамические функциональные элементы GPSS, которые отражают реальные заявки на обслуживание.

Транзакты двигаются по модели, появляются в ней с той же интенсивностью, что и реальные заявки. Транзакты могут создаваться и уничтожаться. Перемещаясь между блоками модели в соответствии с логикой моделирования, транзакты вызывают (и испытывают) различные действия:

  • возможны их задержки в некоторых точках модели (связанные с обслуживанием, ожиданием в очереди);
  • изменение маршрутов и направления движения;
  • создание копии транзактов и т.д.

С каждым транзактом связан упорядоченный набор параметров – атрибутов.

При генерации транзактов резервируются 12 параметров. Обычно первые 12 параметров являются постоянными. В их набор входит:

  • номер транзакта;
  • номер блока, в котором транзакт находится в данный момент;
  • номер следующего блока;
  • время перехода в следующий блок;
  • приоритет, характеризующий очередность обработки транзактов в определенных ситуациях и т.д.

При программировании транзакту можно присвоить набор специфичных параметров, выражающих свойства или характеристики моделируемых объектов (вес, скорость, цвет, время обработки и т.п.).

  • Устройства. Моделируют объекты, в которых может происходить обработка транзактов, что связано с затратами времени. Устройства являются аналогами каналов СМО (каждое устройство в данный момент времени может быть занять лишь одним транзактом). Устройство может быть прервано. В GPSS существует возможность проверки состояния устройства.
  • Памяти. Предназначены для моделирования объектов, обладающих емкостью. Аналогия с многоканальными СМО состоит в том, что память может обслуживать одновременно несколько транзактов. При этом транзакт занимает определённую часть памяти.
  • Логические переключатели. Принимают значение включено/выклю­чено, позволяют изменять пути следования транзактов в модели.

Устройства, памяти, логические переключатели относятся к аппаратно-ориентированным объектам GPSS.

Статистические объекты GPSS (используются только тогда, когда необходимо собирать статистику):

  • Очереди. В процессе движения транзакты могут задерживаться в определенных точках модели. Если необходимо собирать инфор­мацию о длине очереди транзактов и времени задержки транзактов, то используют соответствующие статистические объекты.
  • Таблицы. Таблицы обрабатывают статистическую информацию, строят гистограмму распределений по любой переменной.

Вычислительные объекты GPSS:

  • матрицы;
  • функции;
  • переменные различных типов и т.п.

Рассмотрим второй уровень. Модель на языке GPSS имеет наглядное графическое представление в виде блок-схемы.

Блоки – операционные объекты GPSS. Каждый блок имеет стандартное обозначение. Последовательность блоков – это есть последовательность операторов на языке GPSS. Любую модель на языке GPSS можно представить в виде совокупности блоков, между которыми перемещаются транзакты, они имеют вход-выход, в блоках реализуются все действия, связанные с обслуживанием транзакта (создание и уничтожение транзактов, изменение параметров транзакта, управление потоками транзактов, и т.д.). Блоки выполняются только в результате входа в них перемещающихся транзактов. GPSS является системой интерпретирующего типа с собственным языком.

Таким образом, на языке GPSS составляется и реализуется функциональная блок-схема.

Существуют два особых блока: GENERATE, имеющий только выход, через него транзакты входят в модель, и блок TERMINATE, имеющий только вход – удаляет транзакты из модели. Любой процесс на языке моделирования GPSS имеет вид:

Рис. 4.2.2. Процесс на языке моделирования GPSS

Описание параллельных процессов на языке GPSS представляет несколько таких цепочек блоков, взаимодействующих через общие ресур­сы. Поэтому язык моделирования GPSS позволяет описывать параллель­ные процессы, независимые друг от друга, а взаимодействующие через общие ресурсы или переменные.

Итак, модель системы на языке GPSS представляет сеть блоков (операторов языка). Каждый блок описывает определенный этап действий в системе. Линии соединения блоков показывают направления движения подвижных элементов (транзактов) через систему или описывают некоторую последовательность событий, происходящих в моделируемой системе.

В настоящее время появились различные обобщения рассмотренной концепции структуризации, когда структура моделируемого процесса изображается в виде потока, проходящего через обслуживающие устройства и другие элементы СМО: сети очередей, графы потоков, структурно-стохастические графы и др. Дуги на графах интерпретируются как потенциальные потоки заявок между обслуживающими устройствами. Пути на графах соответствуют маршрутам движения заявок в системе обслуживания.

Система массового обслуживания – это абстрактный объект, в котором выполняется последовательность операций и включает в себя совокупность приборов обслуживания, которые связаны в определенном логическом порядке. В соответствии с этой логикой происходит движение материальных носителей – заявок на обслуживание. Структура системы массового обслуживания представлена на рис. 4.2.1.

Рис. 4.2.1. Структура системы массового обслуживания

Заявка характеризуется моментом появления на входе системы, статусом по отношению к другим заявкам и некоторыми параметрами, определяющими потребности во временных ресурсах на обслуживание.

Постоянно поступающие заявки на обслуживание образуют поток заявок – совокупность заявок, распределенную во времени.

Поток заявок может быть однородным (с точки зрения обслуживания все заявки равноправны) и неоднородным.

Основной параметр потока заявок – промежуток времени между моментами поступления двух соседних заявок.

Поток заявок может быть стационарным и нестационарным (изменяться во времени).

Поток заявок рассматривается как случайный процесс, характеризую­щийся функцией распределения периода поступления заявок (например, простейший поток, поток Эрланга).

Элемент системы, в котором происходят операции, называется обслуживающим устройством (ОУ). В момент выполнения операций оно занято, в противном случае – свободно. Если обслуживающее устройство свободно, то заявка принимается к обслуживанию.

Обслуживание каждой заявки каналом означает задержку в нем заявки на время, равное периоду обслуживания. После обслуживания заявка покидает прибор обслуживания. Таким образом, обслуживающее устройство характери­зуется временем обслуживания заявки. При случайном характере поступления заявок образуются очереди. Существуют алгоритмы, по которым заявки принимаются к обслуживанию, например:

  • в порядке очереди (FIFO, очереди с приоритетами и др.),
  • в случайном порядке в соответствии с заданными распределениями, по минимальному времени получения отказа и др.

Реальный процесс функционирования СМО следует представлять в виде последовательности фаз обслуживания, выполняемых различными устройствами. Примеры многофазного обслуживания: обслуживание покупателей в магазине (прилавок, касса); производственно-технологичес­кий процесс (обработка деталей на станках) и т.п. Причем эти многофазные системы могут иметь сложную структуру (стохастические сети), как показано на рис. 4.2.2.

Рис.4.2.2. Стохастическая сеть

Обслуженная заявка покидает прибор обслуживания и покидает систему (поглотитель заявок), либо движется дальше в соответствии с технологической схемой работы системы.

Различают следующие типы СМО:

  • одноканальные и многоканальные (по количеству каналов);
  • с ожиданием и без ожидания (с отказами);
  • с ограничением на длину очереди (или с ограниченным ожиданием) и без ограничения;
  • с упорядоченной очередью и с неупорядоченной очередью;
  • с приоритетами и без приоритетов и др.

Модель СМО разрабатывается и реализуется с целью оценить определенные показатели качества. Приведем основные показатели качества обслуживания:

  • общее количество обслуженных заявок, за какой- либо промежуток времени;
  • пропускная способность – среднее число заявок, обслуженных в единицу времени;
  • доля обслуженных заявок;
  • доля заявок, получивших отказ;
  • время пребывания заявки в системе (от момента поступления заявки в систему до момента завершения ее обслуживания);
  • среднее время обслуживания (функция распределения времени обслуживания);
  • средняя длина очереди;
  • среднее время ожидания;
  • загрузка каналов или коэффициент использования каналов (доля времени, в течение которого ОУ было занято. Характеризует степень простоя ОУ).

Классические математические методы исследования СМО изложе­ны в теории массового обслуживания. Следует отметить, что аппарат аналитического моделирования СМО отличается от методов имитационного моделирования. Аналитические методы имеют ограничения для решения практических задач, например, часто используются предположения о простейшем потоке заявок (хотя для различных фаз обслуживания он может быть и не простейшим), об однотипных устройствах и т.п. В имитационном модели­ровании подобные и другие ограничения снимаются. При этом могут применяться произвольные законы распределения, различные схемы обслуживания (например, порядок обслуживания заявок из очереди и т.п.), СМО исследуется не обязательно в стационарном режиме (возможно изучение переходного режима, когда показатели отличаются от предельных асимптотических значений).

Сущность метода имитационного моделирования для СМО состоит в следующем. Используются специальные алгоритмы, позволяющие выра­батывать случайные реализации потоков событий и моделировать процессы функционирования обслуживающих систем. Далее осуществля­ется многократное воспроизведение, реализация случайных процессов обслуживания и на выходе из модели происходит статистическая обработка полученных данных с оценкой показателей качества обслуживания.

В 1960-х годах было введено понятие класса моделей сложных систем, названных агрегативными. Основным элементом построения таких моделей был кусочно-линейный агрегат (КЛА). Эти модели обладают рядом привлекательных свойств, позволяющих использовать их в рамках общей схемы исследования сложных систем. В работах отечественной научной школы интенсивно исследовались их структурные и поведенческие свойства, создана имитационная система АИС (агрегативная имитационная система), базирующаяся на понятии агрегативной модели.

Рассмотрим определения и конструкции, приведенные ниже, в форме, приближенной к их программной реализации.

Определение кусочно-линейного агрегата (КЛА).

КЛА относится к классу объектов, которые принято изображать в виде преобразователя (рис. 4.3.1), функционирующего во времени и способного воспринимать входные сигналы х со значениями из некоторого множества X, выдавать выходные сигналы у со значениями из множества Y и находиться в каждый момент времени в некотором состоянии z из множества Z.


Рис.4.3.1. Общий вид преобразователя

Класс КЛА отличает специфика множеств X, Y, Z, допустимые формы входных и выходных сообщений (т. е. функций х (t) и у (t), ), траекторий z (t), , а также способ преобразования входного сообщения в выходное. Отметим, что динамика КЛА носит “событийный” характер.

В КЛА могут происходить события двух видов: внутренние и внешние. Внутренние заключаются в достижении траекторией КЛА некоторого подмножества состояний; внешние – в поступлении входного сигнала.

Между событиями состояние КЛА изменяется детерминированным образом. Каждому состоянию z ставится в соответствие величина, трактуемая как потенциальное время до наступления очередного внутреннего события. Состояние КЛА в момент t* наступление события является случайным.

В момент t*, наступления внутреннего события, выдается выходной сигнал у*, содержание которого зависит лишь от z*. В частности, выходной сигнал может быть и пустым, т. е. не выдаваться. После случайного скачка x (z) вновь определяется время до наступления внутреннего события.

Рассмотрим момент t** наступления внешнего события, связанного с поступлением входного сигнала. Тогда состояние КЛА в момент t** является случайным, зависящим лишь от х и z**. В момент t**, выдается выходной сигнал

у **, содержание которого определяется х и z**.

Условимся считать, что если моменты наступления внешнего и внутреннего событий совпадают, то изменение состояния осуществляется в соответствии с правилом наступления внешнего события, т. е. входные сигналы имеют приоритет над внутренними событиями.

Таким образом, динамику КЛА можно представить в следующем виде. Пусть в некоторый момент задано состояние КЛА. Тогда определяется время T(z), через которое совершается случайный скачок, и меняется состояние. Начиная с момента наступления события (внешнего или внутреннего), ситуация повторяется, и динамику КЛА можно описать в виде задания фазовой траектории изменения состояний z (t), определен­ной на . Процесс функционирования КЛА полностью определяется изменениями, происходящими в особые моменты времени – моменты наступления событий (внешних или внутренних). Между особыми моментами состояние КЛА меняется детерминировано.

Опишем теперь КЛА более подробно. КЛА внешне имеет вид многополюсника с m входными клеммами и n выходными клеммами (рис.4.3.2). Отметим, что в общем случае для различных КЛА .


Рис.4.3.2. Кусочно-линейный агрегат

Предположим, что в состав множеств Xi и Yj включены и фиктивные элементы 0, наличие которых на входе или выходе КЛА означает отсутствие сигнала на соответствующей входной или выходной клемме.

Следовательно, входной сигнал на КЛА имеет вид

а выходной:

Рассмотрим, на чем основана программная реализация агрегативных моделей. Не фиктивными входными хi или выходными yj сигналами, а также состояниями z КЛА являются данные. Данными считаются: элементарные данные; списки данных; массивы данных; структуры данных. Элементарными данными считаются целые числа, действительные числа, символьные переменные. Здесь термины “список”, “массив” употребляются в их обычном смысле. Понятие структуры данных соответствует дереву, на корнях которого размещены данные. Каждое данное имеет свое имя. Рассматриваемые данные хорошо отображают содержательные представления, существующие у исследователя относительно реальных объектов, и существенно облегчают процесс построения модели. Эти данные удобны как с математической, так и с программной точек зрения.

Пусть состояние z КЛА определено как некоторая структура данных. Тем самым фиксирован вид дерева, представляющего эту структуру.

Дерево базируется, в конечном счете, на элементарных данных. Обозначим через Iz элементарные данные, входящие в состояние z и имеющие тип целых чисел и символов, а через Rz , – элементарные данные, имеющие действительный тип. Предположим, что значения и состав элементарных данных могут меняться лишь в особые моменты времени, а между ними остаются постоянными. Разобьем множество Rz на два подмножества R =, гдесостоит из положительных величин, a – из неположительных. Будем считать, что данные из подмножества остаются неизменными между особыми моментами времени. Это отвечает обычно используемой “энергетической интерпретации” причин наступления внутренних событий в моменты, когда исчерпывается некоторый ресурс, заканчивается операция и т. д. Таким образом, внутреннее событие происходит, когда хотя бы один из положительных элементов множества обращается в нуль.

Аналогично задается реакция КЛА на входной сигнал

Введенное понятие агрегативной системы дает возможность описания самых разнообразных объектов реального мира в агрегативном виде.

Агрегативные системы служат определенным обобщением таких хорошо известных схем, как автоматы и модели массового обслуживания. Нетрудно понять, что в агрегативном виде также могут быть представлены сети Петри и практически любые численные методы решений дифференциальных уравнений (обыкновенных и в частных производных). Таким образом, агрегативные системы охватывают широкий класс различных моделей, используемых при изучении сложных систем. В агрегативном виде можно также представить модели, имеющие вид “черного ящика”. Структуры данных, описывающие состояния и сигналы агрегативных систем, помогают формализовать концептуальное представление, которое существует у пользователя относительно элементов сложной системы.

Эти описания достаточно естественны и удобны, что можно объяснить следующими причинами. Агрегативные модели соответствуют основным концепциям описания сложных систем. В основу понятия агрегативной модели положено структурное представление системы в виде взаимодействующих элементов – КЛА. Это соответствует одной из основных концепций сложных систем.

Динамика агрегативной системы полностью определяется последовательностью событий, происходящих в ней, что отвечает концепции алгоритмической модели динамической сложной системы.

В соответствии с алгоритмической моделью и понятием агрегативной системы возможны реализации разнообразных машинных моделей сложных систем. Одним из преимуществ является удобство реализации агрегативных систем на ЭВМ. Примером может являться агрегативная имитационная система.

Таким образом, можно констатировать, что агрегативная формализация удовлетворяет основным требованиям, предъявляемым к моделям сложных систем.

Сети Петри и их обобщения представляют собой математические модели, построенные в рамках определенной концепции структуризации.

Концепция структуризации базируется на возможности представления моделируемых систем в виде совокупности параллельных процессов, взаимодействующих на основе синхронизации событий или распределения общих для нескольких процессов ресурсов. Каждый процесс в рамках этой концепции представляется в виде логически обусловленных не упорядоченных по времени причинно-следственных цепочек условий и событий.

Рассмотрим общие подходы к описанию структур моделируемых проблемных ситуаций в виде сетей Петри. Сети Петри – удобный аппарат моделирования параллельных процессов, т.е. процессов, протекающих независимо один от другого.

При разработке структур моделей дискретных систем в качестве базовой информации можно использовать данные о логической взаимо­связи наблюдаемых в системе событий и условий, предопределяющих наступление этих событий.

В некоторых реальных системах нельзя точно предсказать момент времени наступления событий. Наступление событий предваряет сложная система причин и следствий. Точное знание моментов времени реализации событий в системе часто можно игнорировать, поскольку такие сведения о событиях, происходящих в реальных (или проектируемых) системах, либо просто отсутствуют, либо их нельзя считать достоверными. Это объясняется многообразием предваряющих события условий, невозможностью полного их учета и верного описания, а также действием сложной системы причин и следствий, определение которых на временной шкале часто не представляется возможным.

Вводятся базовые понятия “Условие” и “Событие”, которые могут быть связаны отношением типа “Выполняется после” (рис. 4.4.1).

Рис. 4.4.1. Описание структур моделируемых дискретных систем в виде сетей Петри

События выражают действия, реализация которых управляет состояниями системы. Только при достижении определенных состояний (в этом случае соответ­ствующие предикаты принимают истинное значение) обеспечивается возможность действий (наступления событий). Условия, с фактами выполнения которых связана истинность предиката и, следовательно, возможность реализации события, называют “до-условиями” (предпосыл­ками наступления события).

В результате действия, совершившегося при реализации события, объявляются истинными все простые условия, непосредственно связан­ные с данным событием отношением “Выполняется после”. Эти условия рассматриваются как “пост-условия” (прямые следствия событий).

Только после выполнения всех “до-условий” для некоторого события это событие может быть выполнено. После того как событие имело место, истинными становятся все “пост-условия” данного события, которые затем, в свою очередь, могут быть “до-условиями” каких-либо других событий и т. д. Таким образом, оформляется логическая взаимосвязь событий и условий, предопределяющих эти события в виде логически обусловленных причинно-следственных цепочек условий и событий. Построение полной структуры таких отношений для моделируемой проблемной ситуации составляет цель и задачу формирования структуры модели.

В таблице 4.4 рассматривается фрагмент моделируемой производ­ственной системы, отражающий некоторый процесс обслуживания деталей на станке.

Структуризация производственной системы Таблица 4.4

Рассмотренная концепция структуризации моделируемой проблем­ной ситуации поддерживается формальными средствами, разработан­ными в теории сетей Петри.

В сетях Петри условия моделируются позициями, а события – переходами.

Формально сеть Петри представляет собой набор:

С = (Р, Т, Е), где

Р - непустое конечное множество позиций сети;

Т - непустое конечное множество переходов;

Е = (РХТ) U (ТХР) – отношение инцендентности позиций и переходов (множество дуг сети) – логически обусловленные причинно-следственные связи между событиями и условиями.

Также могут быть заданы:

W: F->Nфункция кратности дуг (каждой дуге ставится в

соответствие n > 0 – кратность дуг);

M: P->Nфункция начальной разметки.

В различных расширениях сетей Петри используются графические представления – графы, орграфы, диграфы – в общем виде некоторые сетевые представления.

Графически ординарные сети Петри представляются двудольными орграфами:

С = (Р, Т, Е).

Множество вершин в таких орграфах состоит из непересекающихся подмножеств позиций Р = {рi}, i = 1,…,|P| и переходов Т = {tj}, j = 1,…,| T| , а множество дуг Е разделяется на два подмножества { (рi1, tj) } и { (tj1 , рi) }. Дуги (рi1,tj) ориентированы от позиций к переходам, а дуги (tj1 , рi) – от переходов к позициям.

В изображении графов, представляющих ординарные сети Петри, позиции принято обозначать кружками, а переходы – барьерами (планками) следующим образом:

Рис. 4.4.2. Обозначения основных элементов сетей Петри

Для примера рассмотрим фрагмент сети Петри, моделирующей структуру процессов функционирования производственной системы, соответствующий примеру, приведенному в таблице 4.4.

Рисунок 4.4.3. Фрагмент сети Петри

Рис. 4.4.4. Фрагмент сети Петри

Динамика поведения моделируемой системы отражается в функционировании сети в виде совокупности действий, называемых срабатыванием переходов.

Динамика сетей Петри обусловлена соглашениями относительно правил срабатывания переходов. Действующие в сетях Петри соглашения о правилах выполнения переходов выражают логические взаимосвязи между условиями и событиями в моделируемой системе. Переход может сработать (срабатывание перехода), если выполнены все условия реализации соответствующего события. Последовательная реализация событий в системе отображается в сети в виде последовательного срабатывания ее переходов.

Механизм маркировки позиций. Изменение состояния сети связано с механизмом изменения маркировок позиций. Начальное состояние сети Петри задается с помощью маркировки ее позиций. Маркировка сети (разметка позиции-места) заключается в присвоении позициям числовых значений (меток, маркеров, фишек). Метки представляют собой набор атрибутов (числа, переменные). Например, начальную разметку можно записать в виде вектора М0 (p) = (00000110100), где 1- соответствует условиям, которые должны быть выполнены.

Когда емкости позиций невелики, в качестве меток на графических изображениях сетей Петри используют не числа, а фишки, маркеры. Выполнение условия изображается разметкой (маркировкой) соответ­ствующего места, а именно помещением числа n или n- фишек (маркеров) в эту позицию. Изменение состояния сети связано с изменением маркировок позиций, в этом случае выполняется возбужденный переход, т.е. переход с ненулевыми метками. Переход может сработать, если выполнены все условия реализации соответствующего события. Для этого задаются специальные правила или процедуры перехода. На рис. 4.4.5 (а, б, в) демонстрируется, как в сетях Петри реализуется механизм маркировки.

Таким образом, срабатывание перехода – это неделимое действие, изменяющее разметку: из каждого входного места (позиции) изымается по одной фишке, а в каждое выходное место (позицию) добавляется по одной фишке. Тем самым реализация события, изображенного переходом, изменяет состояние связанных с ним условий (уменьшается емкость до-условий, увеличивается емкость постусловий).

Применяются следующие правила изменения маркировок:

  • выполняется только возбужденный переход, т.е. такой переход, во всех входных позициях которого имеются ненулевые метки;
  • срабатывание перехода может наступить через любой конечный промежуток времени после его возбуждения;
  • если в некотором состоянии сети возбужденным оказывается сразу несколько переходов, то всегда выполняется только какой-то один (любой) из них;

Рис. 4.4.5. Реализация механизма маркировки в сетях Петри

  • в результате срабатывания перехода метки в каждой позиции перехода уменьшаются на единицу, а метки во всех его выходных позициях увеличиваются на единицу;
  • выполнение перехода – неделимый акт, изменение разметки входных и выходных позиций перехода при его выполнении осуществляется мгновенно.

Всякому возможному варианту выполнения сети будет отвечать определенная последовательность срабатываний переходов и последовательность получающих после каждого очередного срабатывания маркировок вида:.

Сети Петри формализуют понятие абстрактной асинхронной системы динамической структуры из событий и условий. В сетях Петри не моделируется ход времени, события упорядочиваются по отношению “Выполняется после”.

Сети Петри моделируют широкий класс систем, но для некоторых распространенных специальных классов систем удобно применять сети Петри не общего вида, а некоторые их подклассы или расширения (иерархические сети, раскрашенные сети Петри, сети событий, временные сети событий, КОМБИ-сети, ЕД-диаграммы), более адекватные рассматриваемым системам.

Регулярные сети. Основным свойством регулярных сетей является наличие определенной алгебры, которая обеспечивает проведение аналитического представления процесса топологического построения и расчленения процесса анализа сетей на совокупность этапов, на каждом из которых достаточно иметь дело с более простыми фрагментами сети.

В свою очередь обобщением регулярных сетей являются иерархичес­кие сети, предназначенные для адекватного моделирования иерархичес­ких динамических систем. Иерархическая сеть функционирует, переходя от разметки к разметке, с некоторыми отличиями от работы регулярных сетей. Данные отличия связаны с присутствием составных переходов, срабатывание которых является не мгновенным событием, как в традиционных сетях Петри, а составным действием. Поэтому составной переход не срабатывает, а работает, т.е. находится некоторое время в активном состоянии.

При моделировании систем сетями Петри, часто возникают ситуации, при которых фишки позиций (мест) должны быть не “безлики”, а должны соответствовать объектам, передаваемым от компонента к компоненту (от перехода к переходу). Причем, как правило, эти объекты имеют дополни­тельные атрибуты, которые позволяют различать их и использовать эти различия для управления функционированием системы. Для адекватного описания подобных ситуаций был разработан подкласс раскрашенных сетей Петри. В рассмотренных нами ранее сетях все метки предполагались одинаковыми. Механизм функционирования сетей был связан только лишь с количествами меток во входных позициях переходов и определялся общими для всех меток условиями возбуждения переходов и правилами изменения разметки позиций при выполнении сети. Появление раскра­шенных сетей Петри связано с концепцией использования различимых меток. В таких сетях каждая метка получает свой цвет. Условия возбуждения и правила срабатывания переходов для меток каждого цвета задаются независимо. В данных сетях фишкам приписываются некоторые признаки, например различные цвета (переменные), а кратности дуг интерпретируются как функции от этих переменных. Условия срабатывания переходов и правила изменения разметки задаются специальной таблицей, учитывающей цвета фишек.

Дальнейшим расширением раскрашенных сетей явились предикатные сети. Данные сети позволили связывать с переходами сетей логические формулы (предикаты или защиту), представляющие классы возможных разметок во входных и выходных позициях в соответствии с метками дуг. Эти выражения задают условия отбора необходимых цветов для срабатывания переходов.

При разработке имитационной модели из класса расширений сетей Петри, как впрочем, и любой другой имитационной модели, выделяются четыре основных этапа: структуризации, формализации и алгоритмиза­ции, программирования модели, а далее проведения имитационных экспериментов с моделью.

При структуризации определяются и неоднократно уточняются:

  • действующие в системе процессы и используемые ресурсы;
  • множество позиций (отображают в модели состояния процессов и ресурсов) и множество переходов (событий);
  • подмножество синхронизирующих (для описания параллельных процессов) переходов.

При формализации и алгоритмизации элементов модели для каждой позиции определяются атрибуты меток. Переход считается формально описанным, если известны:

  • множества смежных с этим переходом позиций;
  • условий возбуждения перехода;
  • схема выполнения;
  • процедура перехода.

Условия возбуждения перехода – есть некоторый предикат, принима­ющий истинное значение, если реализуется некоторая разметка позиций множества Е (проверяются атрибуты меток). Схема выполнения определяет изменение разметки позиций сети при срабатывании перехода. Процедура перехода представляет собой правила вычисления атрибутов или добавления меток.

Программирование модели связано с описанием позиций и переходов сети, оформляемых с помощью некоторых языков программирования или моделирования, например GPSS.

Теперь нам предстоит познакомиться с одним из способов формализации непрерывных систем.

Под непрерывной системой обычно понимается система, состояние которой изменяется непрерывным образом в зависимости от некоторых независимых переменных (обычно времени).

Языки имитационного моделирования непрерывных систем предназ­начены для моделирования динамических объектов с непрерывным фазовым пространством и непрерывным временем. Как правило, такие объекты описываются с помощью систем дифференциальных (интегро-дифференциальных) уравнений. Однако, в имитационном моделировании формализация явлений в виде математических схем – больше дань традициям, сегодня находят применение подходы, основанные на графической технике структуризации моделируемых динамических процессов.

Классическим примером языков моделирования такого типа явился язык DYNAMO, предложенный Дж. Форрестером. Дж. Форрестер – крупнейший специалист, разработчик концепции системной динамики, основные его работы: “Основы кибернетики предприятия” (1961г.); “Динамика развития города” (1970 г.); “Мировая динамика” (1974 г.) В этих работах изложен метод системной динамики или концепция потокового подхода в имитации, а также исследуются динамика предприятия, урбанизированной территории, проблемы развития человеческой цивилизации на основе предложенной концепции.

Методы и техника построения моделей системной динамики оказали большое влияние на формирование технологии имитационного моделиро­вания. Сейчас появилось много систем моделирования, т.к. iThink, Vensim, Powersim в которых возможности моделирования непрерывных и нелинейных динамических систем дополнены удобными графическими интерфейсами. Сейчас много фирм разрабатывают системы моделирова­ния, реализующие принципы системной динамики, предлагают консал­тинговые услуги по моделированию систем на основе инструментальных средств, поддерживающих нормативные подходы методов системной динамики. Существует международное научное общество, которое развивает и совершенствует методы системного анализа и моделирования систем на основе концепции системной динамики.

Модели системной динамики получили широкое распространение в задачах исследования сложных систем из сферы производства и экономики, торговли и городского хозяйства, из области социальных проблем, проблем экологии и охраны окружающей среды. Эти модели были первыми машинными моделями, положившими начало новому направлению в системных исследованиях – так называемому глобальному моделированию, охватывающему проблемы мирового развития – моделирование мировой экономической системы.

В основе этого класса моделей лежит концепция системной динамики, ориентированная на моделирование систем и процессов на высоком уровне агрегирования, где отображения отдельных элементов процессов, т.е. их дискретности, становится ненужным (например, экономика отдельных стран и регионов, транспортные системы страны, и т.п., проблемы мирового развития). В основе концепции системной динамики лежит представление о функционировании системы, как совокупности потоков информации, энергии, промышленной продукции, денежных средств и т.п.

Математической (формальной) основой методов системной динамики являются дифференциальные модели, в которых используются представления динамических процессов в пространстве состояний. Модели такого вида – это системы дифференциальных уравнений:

X?=f(x,u,t), (4.5.1)

где

X=(x1,x2,…,xm)T – вектор состояния;

x1,…xm – переменные состояния;

u=(u1,…,up)T- вектор входов;

t- символ времени (в дальнейшем для краткости t опускается).

Дифференциальные модели, применяемые в математической теории систем, включают кроме уравнений (4.5.1), называемых уравнениями состояния, еще и уравнение:

у = H (х, u), (4.5.2)

в котором переменная у = (y1 ,...., yq ) T - вектор выходов моделируемых

процессов.

При составлении дифференциальных моделей производится выбор переменных состояния, и устанавливаются связи между этими переменными в виде функций правых частей уравнений состояния. Как правило, сформулировать такие зависимости только с использованием переменных состояния бывает трудно. Более продуктивным оказывается подход, основанный на детальном описании цепочек причинно-следственных связей между факторами, отображаемыми в модели с помощью переменных состояния.

Модели системной динамики разрабатываются на основе предоставляемых экспертами сведений об объектах исследования и в зависимости от целей изучения этих объектов. При построении моделей указанные сведения подвергаются тщательному анализу, в ходе которого находятся решения двух основных взаимосвязанных вопросов: выбора и интерпретации переменных состояния модели; выявления причинно-следственных отношений между переменными состояния и описания этих отношений в форме структурированных функциональных зависимостей вида f и H. По мнению экспертов, динамика состояний моделируемого объекта зависит от ряда факторов. Эксперт анализирует цепочки причинно-следственных связей этих факторов, которые должны обязательно учитываться при описании динамики состояний моделируемого объекта. А далее технология процесса структуризации информации о проблеме позволяет структурировать функции f и H.

Рис. 4.5.1. Граф функциональных зависимостей переменных дифференциальной модели

В качестве общей структурной схемы при описании вектор-функций f (х, u) можно использовать граф, вершинам которого соответствуют переменные модели, а дугам – непосредственные функциональные связи между этими переменными. Поясним на примере (рис.4.5.1.), о каких графах идет речь.

Этому случаю будет соответствовать граф непосредственных функциональных зависимостей между переменными, представленный на рис. 4.5.1. Данный граф имеет четырехъярусную структуру:

Структуры правых частей уравнений дифференциальных моделей всегда могут быть представлены многоярусными графами, не имеющими контуров. Разработка таких цепочек причинно-следственных связей потребовала введения некоторых дополнительных переменных. Обозначим через w = (w1 ,...,ws) T векторную переменную, компоненты которой образуют в совокупности множество включаемых при структу­ризации правых частей уравнений состояния (4.5.1) дополнительных переменных.

Алгоритмические формы записи дифференциальных моделей системной динамики имеют следующие характерные особенности:

Общая схема построения структур правых частей уравнений состояния этих моделей могут быть представлены в виде графовых представлений следующим образом:

Вершины таких графов образуют какой-то один ярус графа:

  • нулевой ярус образуют вершины, отображающие на графе переменные состояния и входные переменные модели;
  • последний ярус (с наибольшим номером) составляют вершины, представляющие на графе переменные левых частей уравнений состояния (4.5.1);
  • вершинам всех промежуточных ярусов соответствуют переменные состояния и дополнительные переменные дифференциальной модели.

Нормативной схемой решения уравнений в моделях системной динамики является одношаговая схема первого порядка. Уравнения состояния моделей составляются в форме разностных уравнений вида:

Здесь h – шаг дискретизации, a t = 0, 1, 2,...

Рассмотрим содержание базовой концепции структуризации.

Говоря в целом о методах разработки моделей системной динамики, их можно охарактеризовать как способы структуризации дифференциальных моделей, базирующиеся на концепции потоковой страти­фикации систем.

В общей структуре моделей системной динамики выделяются две части:

I – “Сеть потоков”:

Отметим, что переменные состояния и переменные скорости изменения состояния (соответственно уровни и темпы в терминах системной динамики), определяющие состояние модели, задаются в сети потоков системами разностных уравнений и в описании присутствуют в неявном виде.

II – “Сеть информации”:

С помощью неё осуществляется структуризация функциональных зависимостей, иначе дается структурированное представление функции .

Это основные образы моделируемых процессов в системной динамике.

Поясним сначала первую составляющую этой структурной схемы.

Как описывается динамика объекта моделирования в виде потоковых сетей?

Модель рассматривается в качестве сети потоков материальных ингредиентов модели. Каждая компонента этой сети соответствует какой-то одной совокупности однородных ингредиентов (например, предметы труда, население, денежные средства и т. п.), динамика которых учитывается в модели.

Например, рассматривая предприятие, с позиций системного подхода, в основе него можно выделить совокупность таких потоков, как финансовые, материальные, людские (кадры), потоки оборудования и др. (рис. 4.5.2).

Рис. 4.5.2. Потоки на предприятии

Сеть имеет узлы и дуги.

Узлы компонент сети потоков (за исключением нулевого узла) изображают наиболее существенные с точки зрения разработчиков модели состояния выделенных ингредиентов, а дуги сети задают возможные переходы их элементов из одного состояния в другое (рис. 4.5.3).

Распределение элементов по состояниям меняется с течением времени. Эти изменения для системной динамики являются норматив­ными образами моделируемых процессов.

В качестве характеристик распределения элементов входящих в модель ингредиентов по состояниям Х1 ,..., Хm рассматриваются переменные

x1 ,..., xm уравнений состояния модели. Переменные v1,..., vn принимаются за характеристики интенсивностей (скоростей), с которыми совершаются переходы элементов из состояния в состояние по дугам V1,...,Vn сети.

Узлы сети изображаются в виде прямоугольников (рис. 4.5.4а). На рисунке 4.5.4б использованы специальные символы потоковых сетей. В моделях системной динамики нуль сети принято обозначать специальным знаком “Озеро”.

Такая интерпретация напоминает структурные формы задания автоматных моделей дискретных процессов. Однако модели системной динамики – это дифференциальные модели, переменные состояния которых непрерывны. Поэтому приведенной здесь структурной концепции уравнений состояния моделей системной динамики обычно дается более естественное объяснение, основанное на гидравлической интерпретации потоковых сетей.

Таким образом, получается следующая картина при описании динамической системы: моделируемые процессы отображаются в виде некоторой фиксированной структуры, состоящей из накопителей – уровней, соединенных взаимосвязанными потоками, которые, перетекая по всей системе, изменяют значение уровней. Уровни характеризуют возникающее накопление внутри системы и являются величинами, которые определяются как переменные состояния системы (например: для банка – это сальдо, для склада – текущий уровень запасов на складе). Уровни описывают величины, непрерывные по диапазону значений, но дискретные во времени. Потоки изменяют значение уровней. В экономике, производстве потоками можно управлять. Потоки регулируют­ся управленческими решениями, которые можно определить как скорости изменения потоков, т.е. темпы. Темп показывает, как изменяются уровни за интервал времени, равный шагу моделирования. Темп характеризует динамику моделируемой системы (попробуйте остановить систему: уровни будут значимы, а темпы неразличимы).

Потоковые сети являются неявной формой описания состояний системы, основных переменных модели – переменных состояния и скоростей изменения состояний, – в форме разностных уравнений. Основные переменные модели: уровни, темпы, вспомогательные (или дополнительные) описываются с помощью следующих разностных уравнений:

Уровень – переменная, закон изменения которой во времени выражается конечно-разностными уравнениями:

X (t+h) = x (t) + h*V (t), (4.5.3)

где

tмодельное (системное) время;

h – изменение (приращение) времени – шаг моделирования (интегрирования);

x (t), x (t +h) – значение уровня в моменты времени;

V (t) – скорость изменения уровня, т.е. величина его изменения за
единицу времени.

Уровнями имитируют такие характеристики моделируемой системы, которые определяют ее состояние в конкретный момент времени.

Темп – это переменная, равная скорости изменения уровня. В (4.5.3) V(t) является темпом. Закон изменения темпа задается функциональной зависимостью:

V(t) = F (p1(t), p2(t),..., pk(t)), (4.5.4)

где

t – модельное (системное) время;

V (t) – темп на момент времени t;

Fпроизвольная функция от k – аргументов;

pi(t) – любые переменные (уровни, темпы, дополнительные переменные), значения которых в момент t известны.

Темп характеризует динамику моделируемой системы.

Вспомогательные переменные введены для описания сложных функциональных зависимостей, их можно использовать для более удобной записи уравнений темпов.

W (t) = F? (p1(t) ... pk(t)), (4.5.5)

где

t – модельное (системное) время;

W (t) – значение вспомогательной переменной на момент t;

pi(t) – любые переменные, значения которых на момент t известны;

F? – некоторая произвольная функция k – аргументов.

Алгоритм имитации, таким образом, реализуется на основе этих разностных уравнений следующим образом:

  • Устанавливаются параметры системного времени (начальное значение, шаг интегрирования, длина интервала моделирования), задаются начальные условия (значения уровней в начальный момент системного времени);
  • По уравнениям (4.5.4), (4.5.5) на данный момент системного времени t рассчитываются значения всех темпов и вспомогательных переменных;
  • t + h, системное время увеличивается на шаг моделирования (интегрирования);
  • по уравнениям (4.5.3) рассчитываются значения всех уровней на данный момент системного времени;
  • и т.д. выполняются итерации по этой схеме, пока не пройдет весь интервал моделирования.

Информационная сеть. Вернемся к общей структурной схеме моделей системной динамики, ко II составляющей структурных схем моделей системной динамики – информационной сети.

Структуризация функциональных зависимостей f и H завершается построением информационной сети модели. Подобно структурирован­ным описаниям вектор-функций дифференциальных моделей, рассмот­ренных вначале, описания информационных сетей в моделях системной динамики представляют собой многоярусные графы. Ясно, что такие графы легко построить, если уравнения модели уже известны. Для сложных слабоструктурированных систем такие уравнения, как правило, не известны. В моделях системной динамики большая роль отводится эксперту. Модели создаются путем структуризации экспертной инфор­мации. Поэтому используется подход, основанный на анализе цепочек причинно-следственных связей факторов, подлежащих, по мнению экспертов, обязательному учету при описании динамики состояний моделируемого объекта. Вспомогательные переменные главным образом используются для построения логически ясных, хорошо интерпретируе­мых структур взаимосвязей переменных, с помощью которых в моделях отображаются представляемые экспертами разнородные сведения об объекте моделирования.

Рассмотрим общую схему структуризации информации о причинно-следственных взаимосвязях динамических процессов в объектах моделирования:

  • модели системной динамики разрабатываются на основе представляемых экспертами сведений об объектах исследования в форме вербального описания;
  • эксперты проводят анализ и выявление всех факторов, необходимых для описания динамики состояний моделируемого объекта (выби­раются и интерпретируются переменные состояния модели). При построении моделей проводится тщательный анализ этих сведений;
  • выявляются причинно-следственные отношения между переменны­ми, для этого детально описываются цепочки причинно-следственных связей между факторами, отображаемыми в модели с помощью переменных состояний;
  • описываются эти переменные в структурированном виде с помощью графовых представлений (это требует введения вспомогательных переменных);
  • результатом являются структурированные описания вектор-функций правых частей уравнения состояний.

Таким образом, в моделях системной динамики реализуется удобная и простая схема сбора и формализации информации, получаемой от эксперта в процессе построения моделей. Модели системной динамики используют графическую технику при структуризации экспертной информации о проблеме.

Уточним, какие способы описания структурированного экспертного знания предлагает концепция системной динамики.

Диаграмма причинно-следственных связей (ДПСС). Диаграмма причинно-следственных связей это эффективный способ структуриза­ции экспертной информации, который демонстрирует простые приемы качественного описания взаимосвязей факторов, учет которых признает­ся необходимым для отображения в модели принципиальных моментов развития моделируемых процессов.

Диаграмма причинно-следственных связей достаточно хорошо известна как схема конструирования математических моделей. (Этот подход давно применялся при конструировании моделей, получил и самостоятельное развитие при структуризации моделируемых объектов вне метода системной динамики).

На дугах графов причинно-следственных диаграмм обычно расставляются знаки “+” и “-” (отсюда название – “знаковые орграфы”), с помощью которых фиксируется предполагаемый или же эмпирически обоснованный характер влияния переменных, соответствующих конечным вершинам дуг. Наличие знака “+” на дуге (а, b), направленной из вершины а графа в вершину b, означает, что при прочих равных условиях рост переменной а приводит к росту переменной b. Знак “-” описывает противоположный эффект влияния а на b: с ростом а величина b убывает. Проставив веса на дугах такого графа – мы получаем взвешенные орграфы, а произвольную функцию – функциональные орграфы. Очевидно, диаграммы причинно-следственных связей являются предварительным способом анализа сложной системы

Технология составления диаграммы причинно-следственных связей следующая. На основе вербального описания моделируемых процессов выделяют фазовые переменные; используя логику описания, их попарно классифицируют по критерию “причина-следствие”, причина со следствием соединяется стрелками, – таким образом, выявляются все причинно-следственные отношения; над стрелкой ставятся знаки: “плюс – минус” – факторы; в результате такой процедуры могут быть обозначены контуры с обратной связью.

Такая схема структуризации информации о причинно-следственных взаимосвязях динамических процессов в объектах моделирования – схема формирования моделей на базе “плюс – минус” – факторов называется знаковым орграфом, известным также под названием причинно-следственной диаграммы. Она позволяет получить общую структуру дифференциальной модели системной динамики.

Построению и анализу знаковых орграфов при разработке моделей системной динамики уделяется большое внимание.

Рассматривая характерные особенности моделей системной динами­ки, мы неоднократно обращались к различным графовым представлениям: сетям потоков, информационным сетям, причинно-следственным диаграммам. Для дальнейшего изложения важно заметить, что:

  • сети потоков и ярусные информационные сети описывают структурууравнений моделей системной динамики только по частям;
  • а причинно-следственные диаграммы, напротив, отображают взаимо­связи переменных моделей только в целом, не разделяя их по типам.

Сеть потоков – является неявной формой (в виде разностных уравнений), а сеть информации – явной формой описания одних и тех же переменных. Все они предлагают формы графового описания зависимос­тей переменных состояния моделируемых систем.

Разработчики дифференциальных моделей системной динамики используют особую технику графического описания структур моделируе­мых систем. Основу этой техники составляет применение для описания структур моделей так называемых системных потоковых диаграмм.

В потоковую диаграмму объединяются графовые конструкции сетей потоков и информации, в результате чего обеспечивается целостность представления структуры уравнений (4.5.1) и (4.5.2).

В потоковой диаграмме используются нормативные структуры потоковых и информационных сетей.

Популярность методов системной динамики обусловлена во многом тем, что для описания структуры модели используются графические формы представления информации, получаемой от экспертов в ходе сбора и анализа сведений о моделируемых процессах, – предлагается особая, графическая техника структуризации информации, полезная в любой технологии системного моделирования.

Модели системной динамики используют особую технику графическо­го описания структур моделируемых систем: системные потоковые диа­граммы. Специальная техника графического представления предлагает раз­витую графическую символику диаграмм: оснащение графов – (сетей потоков) и ярусных графов функциональных зависимостей темпов – (се­тей информации) специальной выразительной символикой. Основные сим­волы, их назначение и условия использования представлены в таблице 4.5.

Отметим важность языковой функции потоковых диаграмм как технологического средства структуризации информации. При использо­вании описанной символики рассматриваемые графы превращают потоковые диаграммы в средство наглядного отображения информации о динамике моделируемых процессов или, другими словами, – в язык общения экспертов по проблеме и системных аналитиков. Системные потоковые диаграммы доступны и наглядны, это делает их удобным средством для проведения совместных экспертных ревизий.

Совмещение в конструкции потоковых диаграмм явной (сеть информации) и неявной (сеть потоков) форм графового описания зависимостей переменных состояния моделируемых систем, а также развитая графическая символика диаграмм приводят к тому, что потоковые диаграммы дают значительную часть той же информации, что и системы уравнений модели (4.5.1) и (4.5.2), но в иной, более наглядной форме.

Построение потоковых диаграмм оказывается непосредственно связанным с решением задач предмодельного анализа исследуемой проблемы, служит своего рода итогом исходной содержательной проработки информационной базы процесса моделирования. Методы системной динамики предлагают эффективный способ структуризации знаний эксперта.

Системные потоковые диаграммы – эффективное средство систем­ного анализа, позволяет осуществлять декомпозицию сложной системы с последующей композицией. Такой язык определяет форму выражения обсуждаемых вопросов, выступает в качестве средства разделения на части задач анализа причинно-следственной структуры моделируемой системы и последующей “сборки” их результатов в целостную картину организации процессов развития системы.

Таблица 4.5

По-видимому, без большого преувеличения можно сказать, что концепция потоковой стратификации систем, на которой базируются

методы системной динамики, без языка потоковых диаграмм вряд ли оказалась такой привлекательной и популярной для специалистов, применявших и применяющих системную динамику в различных областях исследования сложных систем.

Нормативные схемы формирования общей структуры моделей. В рамках рассмотренной концепции системная динамика предлагает две нормативные схемы формирования общей структуры моделей:

Схема 1. Сначала разрабатывается причинно-следственная диаграмма модели. В число учитываемых при разработке модели факторов и связей включаются все те из них, которые используются экспертами при содержательном описании моделируемого объекта. Затем выполняется анализ зафиксированных в разработанной диаграмме цепочек причинно-следственных связей и определяются факторы, которые описываются в модели уровнями и темпами., т.е. выделяются переменные уровней и темпов. В результате формируется, прорисовывается на эскизах сеть потоков модели.

А далее выделяется и уточняется в качестве структуры, дополняющей сеть потоков в причинно-следственной диаграмме, информационная сеть модели.

Схема 2. Сначала выделяется множество основных материальных ингредиентов, динамику которых необходимо отобразить в модели. Для каждой выделенной совокупности однородных элементов определяется множество их возможных состояний и устанавливается структура переходов элементов ингредиентов из состояния в состояние. В результате формируется сеть потоков модели.

А затем устанавливается структура причинно-следственных связей между уровнями и темпами сети потоков, т. е. разрабатывается структура информационной сети модели. При таком подходе с помощью информационной сети “как бы” сшиваются потоковые представления.

Обе нормативные схемы являются лишь общими правилами структуризации в рамках единой концепции системной динамики и применяются в зависимости от класса решаемых задач.

При нормативном подходе к разработке динамических моделей предполагается систематизация форм причинно-следственных описаний моделируемых процессов и соблюдение определенного порядка построения этих описаний. Основные этапы технологии моделирования в рамках рассмотренных нами схем поясняются на рис. 4.5.5.

Рассмотрим, каким образом могут быть использованы рассмотренные средства структуризации моделей на первых этапах технологии моделирования.

1 этап: Концептуализация проблемной ситуации. Начало разработки модели системной динамики обычно определяют как этап построения “вербальной модели” исследуемой проблемной ситуации. Такой этап работы, безусловно, входит в любую технологию моделирования. В процессе построения вербальной модели осуществляются постановка проблемы, анализ исходной информации, формулировка целей моделирования и т. п. Этот этап, пожалуй, наиболее ответственный и сложный. Успех его выполнения во многом зависит от уровня подготовки и опыта системных аналитиков, участвующих в создании модели.

Рис. 4.5.5. Основные этапы технологии системной динамики:

I – концептуализация; II – структуризация; III – параметризация; IV – формализация; 1 – вербальная модель; 2 – знаковый орграф модели; 3 – потоковая диаграмма модели; 4 – дифференциальные (разностные) уравнения модели (составление уравнений темпов); 5 – машинная модель

Составление вербального описания предполагает систематизацию причинно-следственных описаний моделируемых динамических процессов. Вербальное описание может содержать эскизы потоковых диаграмм и диаграммы причинно-следственных связей. При составлении вербального описания необходимо выполнить:

  • анализ исходной информации, выявляемой в ходе интенсивных дискуссий с экспертами и специалистами;
  • постановку проблемы, формулировку целей моделирования;
  • формулирование наиболее принципиальных гипотез, которые впоследствии должны найти отражение в модели;
  • выявление границ моделируемой системы (исходя из принципа замкнутости);
  • детальное обоснование и установление основной структуры модели (состава взаимодействующих компонентов, динамика которых определяет наиболее существенные (важные) аспекты поведения и состояния системы);
  • обсуждение воздействия на систему внешних факторов;
  • выявление основных факторов и процессов, отображение которых является обязательным для достижения поставленной цели моделирования;
  • описание всей структуры отображаемых в модели причинно-следственных взаимосвязей между факторами в форме вербального описания.
  • При разработке вербальной модели должны быть также выявлены:
  • альтернативы (основные ситуации, варианты, стратегии), экспериментальное исследование которых предполагается проводить с помощью имитационной модели;
  • критерии оценки поведения модели;
  • временные параметры имитации (шаг интегрирования, время моделирования).

В результате выполнения первого этапа должно быть составлено вербальное описание, сформулированное в виде четких словесных конструкций, содержащее предварительное описание всей структуры отображаемых в модели причинных взаимосвязей, и зафиксированное специальными диаграммными представлениями, например, с помощью эскизов диаграмм потоков и/или диаграммы причинно-следственных связей.

2 этап: Построение системных потоковых диаграмм. Этап разработки потоковой диаграммы является основным при структуризации модели системной динамики. Нормативное содержание данного этапа – переход от причинно-следственной диаграммы разрабатываемой модели к ее потоковой диаграмме. Такой переход в соответствии с 1 нормативным подходом связан с выделением вершин (и дуг) орграфа причинно-следственной диаграммы в соответствии с основными типами переменных и аксиомами системной динамики. Выполнение аксиом обеспечивает в последующем разработку и алгоритмизацию по диаграмме дифференциальных (разностных) уравнений модели.

В целом рассматриваемый переход неформален и, как правило, опирается на содержательные суждения о характере и причинах взаимодействия факторов, представленных в виде переменных модели.

3 этап: Параметризация модели. Предположим, что в нашем распоряжении уже имеется потоковая диаграмма модели, на которой указана структура основных причинных зависимостей темпов модели от уровней. Параметризация модели представляет собой процесс перевода вербальных описаний взаимозависимостей факторов моделируемой проблемной ситуации на язык четких количественных соотношений.

Системная динамика представляет разработчикам общие приемы, использование которых, как правило, облегчает и упрощает выбор и обоснование производящих функций темпов. Рассмотрим здесь два основных приема.

Первый из них основан на том, что темпы потоков можно рассматривать в качестве функций принятия решений. Использование такой концепции особенно удобно и естественно при моделировании производственных и экономических систем, когда производящие функции темпов фактически представляют собой количественные описания решающих правил, действующих в механизме управления системой.

При разработке, с этой точки зрения, рекомендуется выделять и в явном виде отображать в производящих функциях темпов следующие структурные элементы:

  • желаемое состояние потокового сектора, в котором действует определенный темп (задание цели решающего правила);
  • существующее (текущее) состояние сектора;
  • количественное выражение различия между указанными состояниями потокового сектора;
  • соотношение для выработки корректирующего воздействия на темп, которое обеспечивает перевод сектора в желаемое состояние.

Например, в производственной системе рассогласование между сетью материалов и сетью оборудования такой системы, связанные с отклонениями от требуемой экономической программы, позволяют в информационной сети модели формировать соответствующие регуляторы для достижения требуемого состояния производственной системы.

Второй методический прием, широко используемый при разработке уравнений темпов моделей системной динамики, – это способ задания производящей функции темпа в виде произведения “нормального темпа” и корректирующих множителей, определяющих его зависимость от переменных состояния (уровней) модели.

Рассмотрим фрагмент потоковой диаграммы (рис. 4.5.6) модели мировой динамики Дж. Форрестера. Темп рождаемости населения определяется здесь как произведение численности населения (состояние), нормального темпа рождаемости и следующих сомножителей, отображающих зависимости темпа рождаемости от:

  • материального уровня жизни;
  • плотности населения;
  • уровня питания;
  • уровня загрязнения.

Каждый из четырех перечисленных выше множителей представляет собой нелинейную функцию, вид которой отражает реальные совокупности данных о характере описываемой причинной связи, или же задает экспертную оценку (гипотезу) такой связи.

Использование описанной формы уравнений темпов обеспечивает наглядность и простоту их содержательной интерпретации, является удобным средством для экспертной оценки информации о наиболее трудно формализуемых аспектах причинных связей компонентных процессов моделируемых систем.

Важным обстоятельством, способствующим преемственности различных форм конструирования моделей при использовании рассмотренных нами приемов параметризации моделей, является четкое соответствие структур уравнений темпов строению информационной сети потоковой диаграммы модели системной динамики. Например, структура представления производящих функций темпов в виде произведений нормальных темпов и корректирующих множителей непосредственно соотносится структуре причинно-следственных зависимостей, заданных диаграммами разрабатываемой модели. Каждый из корректирующих множителей ставится в соответствие дуге информационной сети потоковой диаграммы модели. При этом вид (возрастающая или убывающая функция) будет отвечать знаку, определенному для данной дуги в причинно-следственном графе модели.

Рис. 4.5.6. Фрагмент потоковой диаграммы модели мировой динамики

Таким образом, используя второй из рассмотренных приемов, специалист по системной динамике на основе знакового орграфа модели может записать общее выражение для любого темпа модели и качественно охарактеризовать вид образующих его функциональных сомножителей.

Сегодня существует большое количество систем моделирования, таких как Vensim, iThink, Powersim и др., поддерживающих нормативные схемы системной динамики, предлагающих эффективные инструментальные средства программной поддержки техники, процедур и методов системной динамики. С помощью этих систем системные потоковые диаграммы создаются на идеографическом уровне, параметризация модели осуществляется в режиме подменю, с использованием средств ввода формульной, табличной и графической информации, в процессе диалогового взаимодействия разработчиков модели и системы моделирования, поддерживающей методы системной динамики. Системы моделирования обеспечивают прием задаваемых экспертами спецификаций указанных стандартных описаний, их контроль на непротиворечивость, преобразование полученной информации в текст на языке моделирования. Такие системы моделирования имеют развитые средства для анализа результатов вычислительных экспериментов и проведения сценарных расчетов.

Основные особенности моделей экономической динамики. Модели системной динамики широко применяются в моделировании экономической динамики. На практике используются знаковые графы в моделировании сценариев развития макроэкономических процессов, выборе вариантов экономической политики. Модели системной динамики в сочетании с балансовыми методами находят широкое применение в моделировании социально-экономических процессов, в моделях ресурсного типа, при исследовании процессов воспроизводства в региональных, макроэкономических системах.

Исследуемые с помощью этих методов задачи являются слабострук­турированным; отсутствие теоретических знаний, качественный характер знаний о системе с большой долей экспертных знаний не позволяет применять точные нормативные модели. При исследовании такого класса систем присутствует низкий уровень точности исходных данных, внешняя и внутренняя неопределенность, связанная с присутствием большого количества факторов, находящихся под слабым контролем лиц, принимающих решения.

Особенностью динамического моделирования является то, что решения здесь носят качественные характер, по результатам моделирования в основном судят о направлении развития динамических процессов, проводят анализ устойчивости динамических процессов: исследуется устойчивость или скачкообразность, степень энтропии процессов, протекающих во времени.