Дискретное вероятностное пространство

Определение вероятностного пространства

При построении математической модели мы должны найти компромисс между двумя обстоятельствами. С одной стороны, она должна быть достаточно подробной, чтобы учесть все существенные черты изучаемого явления. С другой стороны, необходимо отбросить все несущественные детали, затемняющие суть дела. Излишняя подробность затрудняет изучение свойств модели, а чрезмерное упрощение может привести к неправильным выводам относительно поведения реальной системы.

Мы начинаем изучение курса теории вероятностей с исследования свойств моделей таких случайных экспериментов, которые имеют конечное или счетное число исходов. Элементарным исходом мы будем называть такое событие, которое однозначно (с определенной точки зрения) говорит о том, чем закончился эксперимент. Это сразу же накладывает на множество элементарных исходов следующее важное ограничение: в каждом испытании происходит один и только один элементарный исход.

Чтобы понять, как должна выглядеть наша модель, рассмотрим пример. Однородный игральный кубик в одинаковых условиях подбрасывают много раз и отмечают число очков, выпавших на верхней грани. Ясно, что в этом эксперименте есть 6 элементарных исходов, которые мы обозначимСтатья 347 - Картинка 1(Статья 347 - Картинка 2означает, что выпало к очков). ПустьСтатья 347 - Картинка 3- относительная частота появления исходаСтатья 347 - Картинка 4. Тогда эти частоты обладают следующими свойствами:

1Статья 347 - Картинка 5

2Статья 347 - Картинка 6

Как отмечалось выше, частоты тяготеют к некоторым числам, которые мы будем называть вероятностями этих исходов. Ясно, что они должны наследовать свойства частот. Эти предварительные рассмотрения приводят нас к следующему определению.

Определение 1. Дискретным вероятностным пространством называется параСтатья 347 - Картинка 7, где Статья 347 - Картинка 8-конечное или счетное множество, Р - вещественная функция, заданная наСтатья 347 - Картинка 9, такая, что

1)Статья 347 - Картинка 10

2) Статья 347 - Картинка 11

Множество Статья 347 - Картинка 12 называется пространством элементарных исходов, его элементы Статья 347 - Картинка 13-элементарными исходами, а число Статья 347 - Картинка 14- вероятностью появления элементарного исхода Статья 347 - Картинка 15.

Пример 1. Симметричную монету подбрасывают один раз. Здесь два элементарных исхода: выпал герб - Г, выпала цифра - Ц. Таким образом,Статья 347 - Картинка 16. В силу симметрии естественно положить Статья 347 - Картинка 175Статья 347 - Картинка 18

Пример 2. Однородный симметричный игральный кубик подбрасывают один раз. В этом случае Статья 347 - Картинка 19

Другие примеры будут приведены на практических занятиях. Важную роль играет следующий частный случай дискретного вероятностного пространства.

Определение 2 . Говорят, что мы имеем задачу на классическое определение вероятности, еслиСтатья 347 - Картинка 20-конечное множество и для всехСтатья 347 - Картинка 21,Статья 347 - Картинка 22, т.е. все исходыравновозможны.

Обычно предположение о равновозможности исходов делается из соображений симметрии задачи. Но так ли это на самом деле (т.е. верна ли модель), можно установить только из сравнения с экспериментальными данными.

События и операции над ними

До сих пор мы рассматривали только элементарные исходы, т.е. в некотором смысле простейшие события. Но кроме них нас могут интересовать и другие, более сложные события. В примере 2 мы можем рассмотреть событие А, состоящее в том, что выпало четное число очков. В теории вероятностей о каждом событии мы хотим знать только одно: произошло оно или нет в данном испытании. Каждое испытание (т.е. однократное проведение эксперимента) заканчивается появлением одного из элементарных исходов, которые однозначно описывают то, чем закончился эксперимент. В частности, по элементарному исходу Статья 347 - Картинка 23 можно определить, произошло событие А или нет. Поэтому все элементарные исходы делятся на две группы: те Статья 347 - Картинка 24, которые приводят к появлению события А (назовем их благоприятными этому событию), и все остальные. С точки зрения их появления в рассматриваемом эксперименте событие А и множество благоприятных для него исходов являются для нас эквивалентными. Таким образом, мы приходим к следующему определению.

Определение 3 . Случайным событием назовем произвольное подмножество А пространства элементарных исходов Статья 347 - Картинка 25 Будем говорить, что событие произошло, если появился элементарный исход, ему принадлежащий, т.е. благоприятный.

Пример 3. Подбрасывают игральный кубик, А - выпала четная цифра. ТогдаСтатья 347 - Картинка 26

В силу того, что каждое случайное событие отождествляется с некоторым подмножеством А пространства элементарных исходов О, различные операции над множествами позволяют определить некоторые операции над событиями. С точки зрения теории вероятностей каждое событие характеризуется только тем, когда оно происходит, а когда нет. Поэтому определения операций над событиями даются именно в этих терминах. С другой стороны, они соответствуют определенным операциям над множествами. Отсюда появляется определенная двойственность терминологии.

Определение 4 .

1) Событие называется достоверным, если оно происходит всегда, и невозможным, если оно никогда не происходит. Этим событиям соответствуют все пространствоСтатья 347 - Картинка 27и пустое множествоСтатья 347 - Картинка 28.

2) Объединением двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих двух событий. На языке теории множеств это соответствует операции объединения множеств и обозначается какСтатья 347 - Картинка 29

3) Пересечением двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходят оба эти события одновременно. Это соответствует операции пересечения множеств и обозначаетсяСтатья 347 - Картинка 30илиСтатья 347 - Картинка 31

4) События А и В называются несовместными (непересекающимися), если они не могут происходить одновременно. Это соответствует непересекающимся множествам и обозначаетсяСтатья 347 - Картинка 32

5) Суммой событий А и В называется их объединение в случае, когда они несовместны. Это не новая операция, а частный случай определения 2 и обозначаетсяСтатья 347 - Картинка 33

6) СобытиеСтатья 347 - Картинка 34называется противоположным к событию А, если оно происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие А. На языке теории множеств это соответствует переходу к дополнению множества А.

7) Разностью двух событий А и В называется такое событие С, которое происходит тогда и только тогда, когда происходит А и не происходит В. Это соответствует операции разности множеств и обозначается Статья 347 - Картинка 35

8) Говорят, что событие А влечет событие В, если при появлении события А, обязательно происходит и событие В. Это означает, что множество А есть часть (подмножество) множества В и обозначаетсяСтатья 347 - Картинка 36

Чтобы наглядно представлять себе операции над событиями, полезно рисовать их в виде некоторых фигур на плоскости, например кругов. Картинки такого рода называются диаграммами Венна.

Конкретные примеры событий и операций над ними будут рассмотрены далее, а также на практических занятиях. Некоторые свойства операций над событиями собраны в следующем предложении.

Предложение 1

Статья 347 - Картинка 37

Задача 1. Доказать предложение 1.

Во многих задачах нас интересует не все множество событий, связанных с данным экспериментом, а только некоторые из них. Но всегда нам хотелось бы, чтобы определенные выше операции над событиями не выводили нас за пределы рассматриваемого множества событий. В связи с этим полезно следующее понятие.

Определение 5 . Некоторый класс Статья 347 - Картинка 38событий называется алгеброй событий, если

Статья 347 - Картинка 39

Задача 2. Доказать, что все определенные выше операции не выводят нас за пределы алгебры Статья 347 - Картинка 40

С практической точки зрения выбор некоторой алгебры событий соответствует определенному взгляду на случайный эксперимент. Алгебра событий - это только те события, которые нас интересуют с этой точки зрения (например, те, которые доступны наблюдению).

Вероятности событий и их свойства

До сих пор мы рассматривали только вероятности элементарных исходов. Теперь мы определим вероятности событий и исследуем некоторые их свойства.

Определение 6 . Вероятностью события А называется число

Статья 347 - Картинка 41(2.1)

Пример 4. Симметричный игральный кубик подбрасывают один раз. Найти вероятность события А, состоящего в том, что выпала четная цифра.

В этом случаеСтатья 347 - Картинка 42,Статья 347 - Картинка 43Статья 347 - Картинка 44.

Пример 5. Пусть мы имеем задачу на классическое определение вероятности. ЕслиСтатья 347 - Картинка 45, гдеСтатья 347 - Картинка 46- общее число элементарных исходов, аСтатья 347 - Картинка 47- число благоприятных исходов для события

А, тоСтатья 347 - Картинка 48

Именно этот результат обычно приводят в качестве определения в элементарных учебниках по теории вероятностей.

Соберем некоторые простейшие свойства вероятностей в виде следующего предложения.

Предложение 2 . Пусть выделена некоторая алгебра Статья 347 - Картинка 49 событий, для которых определены вероятности по формуле (1). Тогда справедливы следующие свойства:

  1. Статья 347 - Картинка 50
  2. Статья 347 - Картинка 51
  3. Если Статья 347 - Картинка 52-попарно несовместны, тоСтатья 347 - Картинка 53Это свойство называется теоремой сложения или свойством конечной аддитивности вероятности.
  4. Статья 347 - Картинка 54.
  5. Статья 347 - Картинка 55
  6. ЕслиСтатья 347 - Картинка 56, тоСтатья 347 - Картинка 57
  7. ЕслиСтатья 347 - Картинка 58, тоСтатья 347 - Картинка 59
  8. Статья 347 - Картинка 60- свойство полуаддитивности вероятности.
  9. Статья 347 - Картинка 61
  10. Статья 347 - Картинка 62Статья 347 - Картинка 63- формула включения и исключения.

Доказательство. Основными являются свойства 1-3. Только здесь мы будем использовать в явном виде то, что мы работаем в рамках дискретного вероятностного пространства. Все остальные свойства будут выведены из этих трех.

Свойства 1 и 2 вытекают непосредственно из определений дискретного вероятностного пространства и вероятности события.

Докажем свойство 3. Пусть, вначале,Статья 347 - Картинка 64. Тогда мы имеем два событияСтатья 347 - Картинка 65иСтатья 347 - Картинка 66. Так как они несовместны, то исходы Статья 347 - Картинка 67распадаются на два непересекающихся класса: те, что принадлежатСтатья 347 - Картинка 68, и те, что принадлежатСтатья 347 - Картинка 69. В силу свойств рядов с неотрицательными членами имеем

Статья 347 - Картинка 70

Для произвольного Статья 347 - Картинка 71 доказательство проводится по индукции. Предлагается это сделать самостоятельно.

Свойство 4 очевидно следует из определения вероятности события и того, что сумма вероятностей всех элементарных исходов равна 1.

СобытияСтатья 347 - Картинка 72иСтатья 347 - Картинка 73несовместны, иСтатья 347 - Картинка 74. Используя свойства 2 и 3, имеем:

Статья 347 - Картинка 75

Представим события А, В иСтатья 347 - Картинка 76в следующем виде:

Статья 347 - Картинка 77

Далее используем свойство 3:

Статья 347 - Картинка 785 Статья 347 - Картинка 79

Этим доказано свойство 5.

Свойства 6,7,8,9 можно доказать аналогично (сделать самостоятельно!).

Докажем свойство 10. Для упрощения доказательства введем одно новое понятие, которое будет полезным и в других вопросах.

Индикатором события А называется функцияСтатья 347 - Картинка 80, заданная на пространстве элементарных исходовСтатья 347 - Картинка 81по правилу:

Статья 347 - Картинка 82

Легко доказать следующие свойства индикаторов событий:

1)Статья 347 - Картинка 83

2)Статья 347 - Картинка 84, 3)Статья 347 - Картинка 85

Используя понятие индикатора события, можно в следующем виде записать определение вероятности события:

Статья 347 - Картинка 86(2.2)

Применим этот результат к доказательству свойства 10. В силу предложения 2.1 мы имеем. Тогда для индикаторов

получаемСтатья 347 - Картинка 87

Статья 347 - Картинка 88

Дальше воспользуемся формулой (2), свойством аддитивности суммы ряда и перейдем к противоположному событию.

Из вышеизложенного следует, что основой нашей модели является некоторое множество (алгебра) событий и вероятности этих событий, обладающие свойствами 1-3 из предложения 2.2. Поэтому мы можем дать новое определение вероятностного пространства.

Определение 7 . Вероятностным пространством (в слабом смысле) называется тройка Статья 347 - Картинка 89, где Статья 347 - Картинка 90 - произвольное множество, Статья 347 - Картинка 91- некоторая алгебра его подмножеств, а Р - вещественная функция, заданная на Статья 347 - Картинка 92 и обладающая свойствами:

1)Статья 347 - Картинка 93

2) Статья 347 - Картинка 94,

3) еслиСтатья 347 - Картинка 95-попарно несовместны , то Статья 347 - Картинка 96

МножествоСтатья 347 - Картинка 97называется пространством элементарных исходов, элементы алгебрыСтатья 347 - Картинка 98называется событиями, числоСтатья 347 - Картинка 99 - вероятностью события А.

Преимущество такого определения в том, что оно применимо и к некоторым ситуациям, в которых мы имеем несчетное множество элементарных исходов. Одним из первым был рассмотрен следующий частный случай.

Определение 8 . Говорят, что мы имеем задачу на геометрическое определение вероятности, если Статья 347 - Картинка 100 есть ограниченное борелевское подмножество в Статья 347 - Картинка 101, Статья 347 - Картинка 102 - алгебра всех его борелевских подмножеств, а вероятность событий задается по правилу

Статья 347 - Картинка 103,

гдеСтатья 347 - Картинка 104-мера Лебега( длина, площадь, объем, ...) множестваСтатья 347 - Картинка 105

Пример 6. Из отрезкаСтатья 347 - Картинка 106случайным образом выбирают точку. Найти вероятность того, что она лежит на расстоянии не более Статья 347 - Картинка 107от точки 0.

В результате такого эксперимента мы получаем некоторую точку Статья 347 - Картинка 108. Поэтому естественно положить Статья 347 - Картинка 109. Если воспользоваться геометрическим определением вероятности, то получаем Статья 347 - Картинка 110 и Статья 347 - Картинка 111