Определение вероятностного пространства в общем случае

Постановка задачи

До сих пор мы работали только с простейшей моделью случайного эксперимента, а именно с дискретным вероятностным пространством. Но многие реальные задачи невозможно описать в рамках этой модели, так как в них число элементарных исходов несчетно. Одним из таких примеров была задача на геометрическую вероятность, в которой рассматривается модель случайного выбора точки из некоторой области. Необходимо дать общее определение вероятностного пространства, которое охватывало бы и такие ситуации. Мы начнем с того, что напомним определение вероятностного пространства в слабом смысле.

Определение 1. Вероятностным пространством (в слабом смысле) называется тройка Статья 354 - Картинка 1, где Статья 354 - Картинка 2- произвольное множество, Статья 354 - Картинка 3- алгебра подмножеств пространства Статья 354 - Картинка 4, Статья 354 - Картинка 5- вещественная функция, заданная на Статья 354 - Картинка 6 и обладающая свойствами:

1)Статья 354 - Картинка 7

2)Статья 354 - Картинка 8

3) если Статья 354 - Картинка 9- попарно несовместны, то Статья 354 - Картинка 10

Мы рассматриваем Статья 354 - Картинка 11 как пространство элементарных исходов некоторого эксперимента, Статья 354 - Картинка 12- это алгебра интересующих нас событий, Статья 354 - Картинка 13- вероятность события. Чтобы понять, почему такого определения недостаточно для наших целей, рассмотрим простой пример.

Пример 1 . Из единичного квадрата случайным образом выбирают точку. Событие К состоит в том, что выбранная точка принадлежит кругу с центром Статья 354 - Картинка 14 радиусаСтатья 354 - Картинка 15

Это типичная задача на геометрическое определение вероятностей. ЗдесьСтатья 354 - Картинка 16

Интересующее нас событие Статья 354 - Картинка 17 естественно отождествить с указанным кругом. Тогда по геометрическому определению вероятности Статья 354 - Картинка 18, где Статья 354 - Картинка 19 - площадь круга. Но круг - это довольно сложная фигура, и непросто определить, что такое его площадь. Из школьного курса геометрии мы знаем, как вычислить площадь прямоугольника. Затем мы исчерпываем круг такими прямоугольниками и определяем его площадь как сумму площадей этих прямоугольников. Но таких прямоугольников будет бесконечное число.

Приведенный выше анализ показывает, что для таких событий, как попадание случайной точки в круг Статья 354 - Картинка 20, необходимо применять бесконечное число операций над более простыми событиями (попадание в прямоугольник), а для определения его вероятности нужно более сильное свойство, чем конечная аддитивность, так как мы складываем площади бесконечного числа прямоугольников.

Определение алгебры

Определение 2 . Система Статья 354 - Картинка 21 подмножеств пространства Статья 354 - Картинка 22называется Статья 354 - Картинка 23-алгеброй, если выполнены следующие свойства:

1)Статья 354 - Картинка 24

2) Если Статья 354 - Картинка 25, то Статья 354 - Картинка 26,

3) если Статья 354 - Картинка 27, то Статья 354 - Картинка 28

Замечание. Можно показать, что применение любых ранее определенных операций над событиями, выполненными не более чем в счетном числе, не выводит нас за пределы Статья 354 - Картинка 29-алгебры.

Примеры.

1. Статья 354 - Картинка 30- тривиальная Статья 354 - Картинка 31-алгебра, соответствует

случаю, когда мы ничего не знаем о рассматриваемом эксперименте.

2.Статья 354 - Картинка 32-Статья 354 - Картинка 33-алгебра всех подмножеств пространства Статья 354 - Картинка 34 соотвествует полной информации об эксперименте.

3. Любая конечная алгебра Статья 354 - Картинка 35(т. е. содержащая конечное число событий ) является Статья 354 - Картинка 36-алгеброй (задача!).

Обычно в реальной задаче мы начинаем с некоторого класса событий Статья 354 - Картинка 37, который, возможно, не является Статья 354 - Картинка 38-алгеброй. Например, в рассмотренном выше примере это был класс прямоугольников. Хотелось бы дополнить его так, чтобы получить Статья 354 - Картинка 39-алгебру.

Определение 3 . Пусть Статья 354 - Картинка 40- некоторая система подмножеств пространства Статья 354 - Картинка 41. Класс Статья 354 - Картинка 42=Статья 354 - Картинка 43подмножеств пространства Статья 354 - Картинка 44называется Статья 354 - Картинка 45-алгеброй, порожденной системой Статья 354 - Картинка 46, если выполнены следующие свойства:

1) Статья 354 - Картинка 47

2) Статья 354 - Картинка 48-Статья 354 - Картинка 49-алгебра ,

3) Если Статья 354 - Картинка 50- некоторая Статья 354 - Картинка 51-алгебра, содержащая Статья 354 - Картинка 52, то Статья 354 - Картинка 53

Замечания. 1. Свойство 3 означает, что Статья 354 - Картинка 54 в определенном смысле самая маленькая Статья 354 - Картинка 55-алгебра, содержащая систему Статья 354 - Картинка 56

2. Порожденная Статья 354 - Картинка 57-алгебра всегда существует. Для доказательства нужно рассмотреть семейство всех Статья 354 - Картинка 58-алгебр, содержащих Статья 354 - Картинка 59 (такие существуют), образовать их пересечение и доказать, что это Статья 354 - Картинка 60-алгебра (провести подробное доказательство самостоятельно!).

Пример. Пусть Статья 354 - Картинка 61, Статья 354 - Картинка 62- класс всех интервалов, Статья 354 - Картинка 63 называется борелевской Статья 354 - Картинка 64-алгеброй, а элементы Статья 354 - Картинка 65 из Статья 354 - Картинка 66называются борелевскими множествами.

Если Статья 354 - Картинка 67, а Статья 354 - Картинка 68- класс всех открытых шаров в Статья 354 - Картинка 69, то Статья 354 - Картинка 70- борелевская Статья 354 - Картинка 71-алгебра подмножеств в Статья 354 - Картинка 72. Элементы этой Статья 354 - Картинка 73-алгебры называются борелевскими подмножествами в Статья 354 - Картинка 74

Если у нас есть вероятностное пространство в слабом смысле, то мы можем расширить алгебру событий до порожденной Статья 354 - Картинка 73- алгебры. Теперь необходимо продолжить вероятность Р на эту более широкую систему. Это можно сделать только в том случае, когда Р обладает определенными свойствами непрерывности.

Свойства непрерывности вероятности

Лемма 1 . Если Статья 354 - Картинка 76- вероятностное пространство в слабом смысле, то следующие свойства вероятности Р эквивалентны:

1) еслиСтатья 354 - Картинка 77- попарно несовместны и Статья 354 - Картинка 78, то Статья 354 - Картинка 79 счетная аддитивность вероятности;

2) если Статья 354 - Картинка 80, тоСтатья 354 - Картинка 81 непрерывность снизу;

3) если Статья 354 - Картинка 82, то Статья 354 - Картинка 83 непрерывность сверху,

4) еслиСтатья 354 - Картинка 84, то Статья 354 - Картинка 85 - непрерывность сверху наСтатья 354 - Картинка 86.

Доказательство. 1.Статья 354 - Картинка 87.

Пусть Статья 354 - Картинка 88. ОпределимСтатья 354 - Картинка 89. События

Статья 354 - Картинка 90- попарно несовместны, Статья 354 - Картинка 91

В силу свойства 1

Статья 354 - Картинка 92

2. Статья 354 - Картинка 93.

Пусть Статья 354 - Картинка 94. Определим Статья 354 - Картинка 95. Новая последовательность событий обладает свойствами: Статья 354 - Картинка 96и Статья 354 - Картинка 97.

Исходя из свойства 2 и используя свойства вероятностей событий, получаем

Статья 354 - Картинка 98

Отсюда следует, что Статья 354 - Картинка 99

3. Статья 354 - Картинка 100. Эта импликация тривиальна, так как свойство 4 есть частный случай свойства 3.

4. Статья 354 - Картинка 101.

Пусть Статья 354 - Картинка 102- попарно несовместны и Статья 354 - Картинка 103

Обозначим Статья 354 - Картинка 104. Последовательность событий Статья 354 - Картинка 105обладает свойствами: Статья 354 - Картинка 106. Кроме того, Статья 354 - Картинка 107. Используя конечную аддитивность вероятности

и свойство 4, получаем Статья 354 - Картинка 108и, так как Статья 354 - Картинка 109,

Статья 354 - Картинка 110

Как мы отмечали выше, нам необходимо продолжить вероятность, заданную на некоторой алгебре событий Статья 354 - Картинка 111, на Статья 354 - Картинка 112-алгебру Статья 354 - Картинка 113, порожденную этой алгеброй. Немецкий математик Каратеодори доказал, что если вероятность Р обладает свойством счетной аддитивности, то ее можно продолжить с алгебры Статья 354 - Картинка 114на Статья 354 - Картинка 115-алгебру Статья 354 - Картинка 116, причем единственным образом.

Теорема о продолжении вероятности (Каратеодори). Пусть Статья 354 - Картинка 117- вероятностное пространство в слабом смысле и вероятность Статья 354 - Картинка 118 обладает свойством счетной аддитивности. Тогда существует единственная счетно-аддитивная вероятность Статья 354 - Картинка 119 наСтатья 354 - Картинка 120Статья 354 - Картинка 121 Статья 354 - Картинка 122

Приведенные выше рассуждения и примеры приводят нас к следующему определению.

Определение 4 . Вероятностным пространством называется тройка Статья 354 - Картинка 123, где Статья 354 - Картинка 124 - произвольное множество,Статья 354 - Картинка 125 - некоторая Статья 354 - Картинка 126-алгебра его подмножеств, Статья 354 - Картинка 127- вещественная функция на Статья 354 - Картинка 128

1) Статья 354 - Картинка 129

2) Статья 354 - Картинка 130

3) еслиСтатья 354 - Картинка 131- попарно несовместны, то Статья 354 - Картинка 132

Такое определение впервые было предложено А.Н. Колмогоровым в книге ’’Основные понятия теории вероятностей”, опубликованной в 1933 г. на немецком языке (русский перевод - 1936 г.)

Замечание. Отметим, что все свойства операций над событиями и свойства вероятностей, доказанные ранее, остаются справедливыми.

Примеры. 1. Дискретное вероятностное пространство.

Пусть мы имеем пару Статья 354 - Картинка 133, где Статья 354 - Картинка 134- конечное или счетное множество, Статья 354 - Картинка 135- вещественная функция наСтатья 354 - Картинка 136:

1)Статья 354 - Картинка 137

2)Статья 354 - Картинка 138

Пусть Статья 354 - Картинка 139Статья 354 - Картинка 140-алгебра всех подмножеств пространства Статья 354 - Картинка 141, а Статья 354 - Картинка 142 задана на Статья 354 - Картинка 143 по правилу Статья 354 - Картинка 144

Задача. Доказать, что заданная таким образом вероятность Статья 354 - Картинка 145 на Статья 354 - Картинка 146 обладает свойством счетной аддитивности.

Таким образом, Статья 354 - Картинка 147 удовлетворяет определению 4.

2. Пусть Статья 354 - Картинка 148- ограниченное борелевское множество, Статья 354 - Картинка 149 неотрицательная вещественная функция, заданная на Статья 354 - Картинка 150: Статья 354 - Картинка 151

Пусть, далее, Статья 354 - Картинка 152Статья 354 - Картинка 153-алгебра борелевских подмножеств пространства Статья 354 - Картинка 154, а вероятность Статья 354 - Картинка 155 задается на Статья 354 - Картинка 156 по правилу: Статья 354 - Картинка 157

Тройка Статья 354 - Картинка 158 определяет вероятностное пространство.

Если Статья 354 - Картинка 159, то приходим вновь к геометрическому определению вероятности.