Определение вероятностного пространства в общем случае

Постановка задачи

До сих пор мы работали только с простейшей моделью случайного эксперимента, а именно с дискретным вероятностным пространством. Но многие реальные задачи невозможно описать в рамках этой модели, так как в них число элементарных исходов несчетно. Одним из таких примеров была задача на геометрическую вероятность, в которой рассматривается модель случайного выбора точки из некоторой области. Необходимо дать общее определение вероятностного пространства, которое охватывало бы и такие ситуации. Мы начнем с того, что напомним определение вероятностного пространства в слабом смысле.

Определение 1. Вероятностным пространством (в слабом смысле) называется тройка , где - произвольное  множество, - алгебра подмножеств пространства ,  - вещественная функция, заданная на  и обладающая свойствами:

1)

2)

3) если - попарно несовместны, то 

Мы рассматриваем  как пространство элементарных исходов некоторого эксперимента, - это алгебра интересующих нас событий, - вероятность события. Чтобы понять, почему такого определения недостаточно для наших целей, рассмотрим простой пример.

Пример 1 . Из единичного квадрата случайным образом выбирают точку. Событие К состоит в том, что выбранная точка принадлежит кругу с центром  радиуса

Это типичная задача на геометрическое определение вероятностей. Здесь

Интересующее нас событие  естественно отождествить с указанным кругом. Тогда по геометрическому определению вероятности , где  - площадь круга. Но круг - это довольно сложная фигура, и непросто определить, что такое его площадь. Из школьного курса геометрии мы знаем, как вычислить площадь прямоугольника. Затем мы исчерпываем круг такими прямоугольниками и определяем его площадь как сумму площадей этих прямоугольников. Но таких прямоугольников будет бесконечное число.

Приведенный выше анализ показывает, что для таких событий, как попадание случайной точки в круг , необходимо применять бесконечное число операций над более простыми событиями (попадание в прямоугольник), а для определения его вероятности нужно более сильное свойство, чем конечная аддитивность, так как мы складываем площади бесконечного числа прямоугольников.