Определение вероятностного пространства в общем случае

{toc_noshowall}

Постановка задачи

До сих пор мы работали только с простейшей моделью случайного эксперимента, а именно с дискретным вероятностным пространством. Но многие реальные задачи невозможно описать в рамках этой модели, так как в них число элементарных исходов несчетно. Одним из таких примеров была задача на геометрическую вероятность, в которой рассматривается модель случайного выбора точки из некоторой области. Необходимо дать общее определение вероятностного пространства, которое охватывало бы и такие ситуации. Мы начнем с того, что напомним определение вероятностного пространства в слабом смысле.

Определение 1. Вероятностным пространством (в слабом смысле) называется тройка , где - произвольное  множество, - алгебра подмножеств пространства ,  - вещественная функция, заданная на  и обладающая свойствами:

1)

2)

3) если - попарно несовместны, то 

Мы рассматриваем  как пространство элементарных исходов некоторого эксперимента, - это алгебра интересующих нас событий, - вероятность события. Чтобы понять, почему такого определения недостаточно для наших целей, рассмотрим простой пример.

Пример 1 . Из единичного квадрата случайным образом выбирают точку. Событие К состоит в том, что выбранная точка принадлежит кругу с центром  радиуса

Это типичная задача на геометрическое определение вероятностей. Здесь

Интересующее нас событие  естественно отождествить с указанным кругом. Тогда по геометрическому определению вероятности , где  - площадь круга. Но круг - это довольно сложная фигура, и непросто определить, что такое его площадь. Из школьного курса геометрии мы знаем, как вычислить площадь прямоугольника. Затем мы исчерпываем круг такими прямоугольниками и определяем его площадь как сумму площадей этих прямоугольников. Но таких прямоугольников будет бесконечное число.

Приведенный выше анализ показывает, что для таких событий, как попадание случайной точки в круг , необходимо применять бесконечное число операций над более простыми событиями (попадание в прямоугольник), а для определения его вероятности нужно более сильное свойство, чем конечная аддитивность, так как мы складываем площади бесконечного числа прямоугольников.

 

 

Определение 2 . Система  подмножеств пространства называется -алгеброй, если выполнены следующие свойства:

1)

2) Если , то ,

3) если , то 

Замечание. Можно показать, что применение любых ранее определенных операций над событиями, выполненными не более чем в счетном числе, не выводит нас за пределы -алгебры.

Примеры.

1.  - тривиальная  -алгебра, соответствует

случаю, когда мы ничего не знаем о рассматриваемом эксперименте.

2.--алгебра всех подмножеств пространства  соотвествует полной информации об эксперименте.

3. Любая конечная алгебра (т. е. содержащая конечное число событий ) является -алгеброй (задача!).

Обычно в реальной задаче мы начинаем с некоторого класса событий , который, возможно, не является -алгеброй. Например, в рассмотренном выше примере это был класс прямоугольников. Хотелось бы дополнить его так, чтобы получить -алгебру.

Определение 3 . Пусть - некоторая система подмножеств пространства . Класс =подмножеств пространства называется -алгеброй, порожденной системой , если выполнены следующие свойства:

1) 

2) --алгебра ,

3) Если - некоторая -алгебра, содержащая , то 

Замечания. 1. Свойство 3 означает, что  в определенном смысле самая маленькая -алгебра, содержащая систему 

2. Порожденная -алгебра всегда существует. Для доказательства нужно рассмотреть семейство всех -алгебр, содержащих  (такие существуют), образовать их пересечение и доказать, что это -алгебра (провести подробное доказательство самостоятельно!).

Пример. Пусть - класс всех интервалов,  называется борелевской -алгеброй, а элементы  из называются борелевскими множествами.

Если , а - класс всех открытых шаров в , то - борелевская -алгебра подмножеств в . Элементы этой -алгебры называются борелевскими подмножествами в 

Если у нас есть вероятностное пространство в слабом смысле, то мы можем расширить алгебру событий до порожденной  - алгебры. Теперь необходимо продолжить вероятность Р на эту более широкую систему. Это можно сделать только в том случае, когда Р обладает определенными свойствами непрерывности.

 

 

Лемма 1 . Если - вероятностное пространство в слабом смысле, то следующие свойства вероятности Р эквивалентны:

1) если- попарно несовместны и  , то  счетная аддитивность вероятности;

2) если , то непрерывность снизу;

3) если , то  непрерывность сверху,

4) если, то  - непрерывность сверху на.

Доказательство. 1..

Пусть .  Определим.  События

- попарно несовместны, 

В силу свойства 1

2. .

Пусть . Определим . Новая последовательность событий обладает свойствами: и .

Исходя из свойства 2 и используя свойства вероятностей событий, получаем

Отсюда следует, что 

3.   . Эта импликация тривиальна, так как свойство 4 есть частный случай свойства 3.

4.           .

Пусть - попарно несовместны и 

Обозначим . Последовательность событий обладает свойствами: . Кроме того, . Используя конечную аддитивность вероятности

и свойство 4, получаем и, так как ,

Как мы отмечали выше, нам необходимо продолжить вероятность, заданную на некоторой алгебре событий , на -алгебру  , порожденную этой алгеброй. Немецкий математик Каратеодори доказал, что если вероятность Р обладает свойством счетной аддитивности, то ее можно продолжить с алгебры на  -алгебру , причем единственным образом.

Теорема о продолжении вероятности (Каратеодори). Пусть  - вероятностное пространство в слабом смысле и вероятность  обладает свойством счетной аддитивности. Тогда существует единственная счетно-аддитивная вероятность  на 

Приведенные выше рассуждения и примеры приводят нас к следующему определению.

Определение 4 . Вероятностным пространством называется тройка , где  - произвольное множество, - некоторая -алгебра его подмножеств, - вещественная функция на 

1) 

2) 

3) если- попарно несовместны, то 

Такое определение впервые было предложено А.Н. Колмогоровым в книге ’’Основные понятия теории вероятностей”, опубликованной в 1933 г. на немецком языке (русский перевод - 1936 г.) 

Замечание. Отметим, что все свойства операций над событиями и свойства вероятностей, доказанные ранее, остаются справедливыми.

Примеры. 1. Дискретное вероятностное пространство.

Пусть мы имеем пару , где - конечное или счетное множество, - вещественная функция на:

1)

2)

Пусть — -алгебра всех подмножеств пространства , а  задана на  по правилу 

Задача. Доказать, что заданная таким образом вероятность  на  обладает свойством счетной аддитивности.

Таким образом,  удовлетворяет определению 4.

2. Пусть - ограниченное борелевское множество,  неотрицательная вещественная функция, заданная на 

Пусть, далее, — -алгебра борелевских подмножеств пространства , а вероятность   задается на  по правилу: 

Тройка  определяет вероятностное пространство.

Если , то приходим вновь к геометрическому определению вероятности.