Последовательности испытаний

Определение последовательности испытаний

До сих пор мы в основном рассматривали случайные эксперименты, состоящие как бы из одного этапа. Хотя встречались примеры и ’’многоступенчатых” экспериментов. В этом разделе мы дадим описание математической модели эксперимента, который состоит из нескольких шагов или этапов.

Пусть - некоторые конечные множества. Элементы множества- это возможные результаты эксперимента на -м шаге. Тогда в качестве элементарного исхода такого эксперимента, состоящего из шагов, естественно взять , где . В этом случае . Чтобы  полностью задать вероятностью модель, необходимо задать вероятности  элементарных исходов.

Определение 1 . Вероятностное пространство , где , называется последовательностью испытаний с множеством значений  на -м шаге.

В этом определении вероятность задана сразу для всей последовательности . Но в реальных задачах результаты эксперимента появляются последовательно шаг за шагом. Поэтому и вероятностную структуру естественно задавать с помощью вероятностей появления , если мы знаем, что на предыдущих шагах уже появились . Используя теорему умножения,

мы можем записать

называется начальным распределением, а  вероятностями переходов на соответствующих шагах для последовательности изиспытаний.

Пример (модель Эренфестов). Пусть мы имеем две урны. В начальный момент в первой урне два белых шара, во второй - два черных. Сначала мы выбираем случайно один шар из первой урны, отмечаем его цвет и кладем его во вторую урну. Затем выбираем случайно один шар из второй урны, отмечаем его цвет и кладем в первую урну и т.д. Пусть проводим п испытаний. На каждом шаге . На первом шаге с вероятностью 1 выбирают белый шар. После  шагов мы знаем состав очередной урны и можем найти вероятность появления белого или черного шара, используя классическое определение вероятностей.

Если в этом примере отмечать не цвет появившегося шара, а вновь полученный состав урн (что эквивалентно), то вероятности перехода будут зависеть от результата эксперимента только на последнем шаге, а не на всех предыдущих шагах. Это свойство имеет место для многих реальных задач. Поэтому целесообразно выделить этот случай отдельно.

Определение 2 . Последовательность испытаний называется цепью Маркова, если для всех и всех 

Еще более простую ситуацию мы получаем, если вообще не зависят от условий 

Определение 3 . Говорят, что мы имеем последовательность п независимых испытаний, если 

Нетрудно проверить, что в этом случае для любого  имеет место

Определение 4 . Вероятностное пространство  называется последовательностью  независимых и одинаковых испытаний, если это последовательность независимых испытаний, 

Можно показать, что события, связанные с разными испытаниями, являются независимыми.

Простейшим является случай, когда , т.е.  множество исходов на каждом шаге состоит из двух элементов. Модель такого эксперимента называется схемой Бернулли и изучается подробно в следующем разделе.

 

 

Начнем с неформального определения. Схемой Бернулли или последовательностью  независимых одинаковых испытаний с двумя исходами называется случайный эксперимент, в котором:

  1. Проводится независимых испытаний;
  2. каждое испытание кончается одним из двух исходов (один исход называется ’’успех” и обозначается 1, а второй - ’’неуспех” и обозначается 0);
  3. вероятность появления ’’успеха” одна и та же в каждом испытании и равна .

Числа  и  называются параметрами схемы Бернулли. Формальное описание модели такого эксперимента дано в следующем определении.

Определение 5 . Схемой Бернулли с параметрами  и  называется дискретное вероятностное пространство , где  состоит из элементарных исходов вида,= 0,1, , а вероятности элементарных исходов задаются по правилу

Где - число единиц в исходе .

Выпадение герба будем считать ’’успехом”. Это схема Бернулли с параметрами

Обычно в рамках схемы Бернулли мы хотим вычислить вероятность не отдельного элементарного исхода, а некоторого более сложного события. Например, в предыдущем примере нас может интересовать вероятность того, что выпало ровно 3 герба. Такой вопрос является наиболее типичным для схемы Бернулли. Пусть есть событие, состоящее в том, что в независимых испытаниях мы получили ровно успехов. По определению вероятности события

,

где мы воспользовались тем, что вероятности элементарных исходов в все одинаковые и вычисляются по формуле (3), а число различных исходов равно размещению  единиц по  мест без учета порядка.

Если нас интересует число успехов, а не когда именно они появились, то мы можем построить менее подробную модель.

Определение 6 . Биномиальной моделью с параметрами п и называется вероятностное пространство , где 

и

,

Вероятности , вычисляемые по формуле (4), образуют

так называемое биномиальное распределение. Нетрудно проверить, что они обладают обычными свойствами вероятностей:

и, кроме того, 

Часто в прикладных задачах нас интересует, какое число успехов имеет наибольшую вероятность. Для этого сравним вероятность двух соседних значений.

Последнее выражение больше 1 при и меньше 1 при . Это приводит нас к следующим свойствам биномиальных вероятностей:

  1. если ,  то при переходе от  к  вероятность возрастает,
  2. если, то при переходе от  к  вероятность убывает,
  3. если число  - целое, то имеем два наиболее вероятных значения для числа успехов:  и ,
  4. если число  - дробное, то имеем одно наиболее вероятное значение  

Полезно нарисовать графики изменения вероятностей  с изменением для разных  и  .

Пример 2 . Симметричную игральную кость подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что выпадут ровно два герба и наиболее вероятное число появлений шестерки.

В этой задаче. Тогда 

Число  является дробным, поэтому наиболее вероятное число появлений шестерки есть 

 

 

Выше мы получили формулу, по которой можно рассчитать вероятность того, что в серии из  испытаний Бернулли с вероятностью успеха  будет получено ровно успехов. А именно

В реальных задачах число испытаний бывает достаточно большим, и производить расчеты по этой формуле становится затруднительным. В этих случаях обычно стараются найти более простые выражения, которые асимптотически эквивалентны точным формулам, когда те или иные параметры меняются определенным образом. Для нашей модели существуют две аппроксимации, которые находят широкие приложения в практических задачах и, как мы увидим позднее, имеют и самостоятельное значение.

Теорема Пуассона. Пусть мы имеем схему Бернулли с параметрами  и . Пусть ,так, что ,

Тогда для любого фиксированного т 

Доказательство. Зафиксируем некоторое целое неотрицательное . Тогда

Более аккуратный анализ позволяет доказать, что

5

Если идля

Пример 3 . На некоторой телефонной станции 10 ООО номеров. В день через станцию поступает в среднем 30 ООО вызовов. Найти вероятность того, что по некоторому конкретному номеру будет ровно два звонка.

Предположим, что вызов по любому номеру является равновероятным и при каждом вызове номер выбирается независимо от других вызовов. Тогда мы имеем схему Бернулли с параметрами . Используя теорему Пуассона, получаем 

Для распределения Пуассона составлены таблицы.

Другой асимптотический результат получается, если , а  выбрано так, что , но величина лежит в некотором фиксированном интервале , где — 

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть мы имеем схему Бернулли с параметрами и . Тогда при и фиксированном 

равномерно по всем т, для которых — 

Здесь 

Для функции  составлены таблицы. Отметим, что 

Пример 4 . Симметричную монету подбрасывают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 50 раз.

В этой задаче . Тогда

Используя локальную теорему Муавра-Лапласа, получаем

Как видно из последнего примера, при больших  и фиксированном  вероятности  для всех значений  очень малы. Поэтому обычно интересуются не тем, какое конкретное число успехов будет в нашем эксперименте, а в каких пределах оно окажется. Например, мы может вычислить вероятность того, что число появлений герба при 100 подбрасываниях будет лежать в пределах от 40 до 60. В таких задачах оказывается полезной следующая теорема.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть мы имеем схему Бернулли с параметрами  и . Если , а - фиксировано, то равномерно по всем 

5

Где  - число успехов в п испытаниях, а 

Более того, для любых  имеет место оценка

Для функции , называемой функцией распределения стандартного нормального закона, составлены таблицы. Она обладает свойствами:

В силу свойства 2 таблицы обычно составляют только для положительных или только для отрицательных . Так как , то для  можно считать, что . Очень часто вместо  используют функцию, которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Она обладает следующими свойствами:

1)

2)

3)

Для нее также составлены таблицы (для ). В силу свойства 3 ее можно использовать в интегральной теореме Муавра-Лапласа вместо функции 

Пример 5 . Симметричную монету подбрасывают 100 раз. Найти вероятность того, что число появившихся гербов будет лежать в пределах от 40 до 60.

В этой задаче . В силу интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа

5

,

Применяя эту аппроксимацию, мы допускаем ошибку, которая не превышает величины  

Более точный анализ показывает, что эта ошибка гораздо меньше.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа является частным случаем более общего результата, называемого центральной предельной теоремой, доказательство которого будет приведено позднее.

Последняя модель, а именно биномиальное распределение, имеет очевидное обобщение на случай, когда число исходов в каждом испытании одинаково, но, возможно, отлично от двух.

Пусть мы имеем последовательность независимых испытаний, каждое из которых кончается одним из  исходов, вероятности которых равны соответственно , и они одни и те же во всех испытаниях. Пусть, далее, есть число появлений -го исхода в этих испытаниях. Тогда вектор  дает нам описание того, чем закончился такой эксперимент. Используя те же рассуждения, что и в биномиальной модели, нетрудно доказать, что вероятность такого исхода вычисляется по формуле

Суммируя все вышеизложенное, приходим к определению.

Определение 7 . Вероятностное пространство , в котором элементарные исходы  имеют вид , где - целые неотрицательные числа такие, что  , а их вероятности вычисляются по формуле

, называется полиномиальным распределением.

Пример 6 . Симметричный игральный кубик подбрасывают 10 раз. Найти вероятность события, состоящего в том, что выпадут 2 шестерки и одна пятерка.

В этом эксперименте проводится 10 испытаний, в которых естественно фиксировать три различных исхода: выпали шестерка, пятерка и другая цифра, вероятности которых равны и соответственно. Тогда

При больших п расчеты по формуле (5) становятся затруднительными. В этом случае применяются асимптотические формулы, аналогичные тем, что мы рассматривали для биномиального распределения.

Задача 1 . Пусть мы провели испытаний с тремя исходами, вероятности которых равны и соответственно. Предположим, что ,, таким образом, что ,. Тогда при фиксированных и 

{toc_noshowall}