Последовательности испытаний

Определение последовательности испытаний

До сих пор мы в основном рассматривали случайные эксперименты, состоящие как бы из одного этапа. Хотя встречались примеры и ’’многоступенчатых” экспериментов. В этом разделе мы дадим описание математической модели эксперимента, который состоит из нескольких шагов или этапов.

Пусть Статья 348 - Картинка 1- некоторые конечные множества. Элементы множестваСтатья 348 - Картинка 2- это возможные результаты эксперимента на Статья 348 - Картинка 3-м шаге. Тогда в качестве элементарного исхода такого эксперимента, состоящего из Статья 348 - Картинка 4шагов, естественно взять Статья 348 - Картинка 5, где Статья 348 - Картинка 6. В этом случае Статья 348 - Картинка 7. Чтобы полностью задать вероятностью модель, необходимо задать вероятности Статья 348 - Картинка 8 элементарных исходов.

Определение 1 . Вероятностное пространство Статья 348 - Картинка 9, где Статья 348 - Картинка 10= Статья 348 - Картинка 11, называется последовательностью испытаний с множеством значений Статья 348 - Картинка 12 на Статья 348 - Картинка 13-м шагеСтатья 348 - Картинка 14.

В этом определении вероятность задана сразу для всей последовательности Статья 348 - Картинка 15. Но в реальных задачах результаты эксперимента появляются последовательно шаг за шагом. Поэтому и вероятностную структуру естественно задавать с помощью вероятностей появления Статья 348 - Картинка 16, если мы знаем, что на предыдущих шагах уже появились Статья 348 - Картинка 17. Используя теорему умножения,

мы можем записать

Статья 348 - Картинка 18

Статья 348 - Картинка 19называется начальным распределением, а Статья 348 - Картинка 20 вероятностями переходов на соответствующих шагах для последовательности изСтатья 348 - Картинка 21испытаний.

Пример (модель Эренфестов). Пусть мы имеем две урны. В начальный момент в первой урне два белых шара, во второй - два черных. Сначала мы выбираем случайно один шар из первой урны, отмечаем его цвет и кладем его во вторую урну. Затем выбираем случайно один шар из второй урны, отмечаем его цвет и кладем в первую урну и т.д. Пусть проводим п испытаний. На каждом шаге Статья 348 - Картинка 22. На первом шаге с вероятностью 1 выбирают белый шар. После Статья 348 - Картинка 23 шагов мы знаем состав очередной урны и можем найти вероятность появления белого или черного шара, используя классическое определение вероятностей.

Если в этом примере отмечать не цвет появившегося шара, а вновь полученный состав урн (что эквивалентно), то вероятности перехода Статья 348 - Картинка 24будут зависеть от результата эксперимента только на последнем шаге, а не на всех предыдущих шагах. Это свойство имеет место для многих реальных задач. Поэтому целесообразно выделить этот случай отдельно.

Определение 2 . Последовательность испытаний называется цепью Маркова, если для всех Статья 348 - Картинка 25и всех Статья 348 - Картинка 26

Статья 348 - Картинка 27

Еще более простую ситуацию мы получаем, если Статья 348 - Картинка 28вообще не зависят от условий Статья 348 - Картинка 29

Определение 3 . Говорят, что мы имеем последовательность п независимых испытаний, если Статья 348 - Картинка 30

Статья 348 - Картинка 31

Нетрудно проверить, что в этом случае для любого Статья 348 - Картинка 32 имеет место

  1. Статья 348 - Картинка 33
  2. Статья 348 - Картинка 34

Определение 4 . Вероятностное пространство Статья 348 - Картинка 35 называется последовательностью Статья 348 - Картинка 36 независимых и одинаковых испытаний, если это последовательность независимых испытаний, Статья 348 - Картинка 37

Можно показать, что события, связанные с разными испытаниями, являются независимыми.

Простейшим является случай, когда Статья 348 - Картинка 38, т.е. множество исходов на каждом шаге состоит из двух элементов. Модель такого эксперимента называется схемой Бернулли и изучается подробно в следующем разделе.

Схема Бернулли. Биномиальное распределение

Начнем с неформального определения. Схемой Бернулли или последовательностью Статья 348 - Картинка 39 независимых одинаковых испытаний с двумя исходами называется случайный эксперимент, в котором:

  1. Проводится Статья 348 - Картинка 40независимых испытаний;
  2. каждое испытание кончается одним из двух исходов (один исход называется ’’успех” и обозначается 1, а второй - ’’неуспех” и обозначается 0);
  3. вероятность появления ’’успеха” одна и та же в каждом испытании и равна Статья 348 - Картинка 41.

Числа Статья 348 - Картинка 42 и Статья 348 - Картинка 43 называются параметрами схемы Бернулли. Формальное описание модели такого эксперимента дано в следующем определении.

Определение 5 . Схемой Бернулли с параметрами Статья 348 - Картинка 44 и Статья 348 - Картинка 45 называется дискретное вероятностное пространство Статья 348 - Картинка 46, где Статья 348 - Картинка 47 состоит из элементарных исходов видаСтатья 348 - Картинка 48,Статья 348 - Картинка 49= 0,1, Статья 348 - Картинка 50, а вероятности элементарных исходов Статья 348 - Картинка 51задаются по правилу

Статья 348 - Картинка 52

Где Статья 348 - Картинка 53- число единиц в исходе Статья 348 - Картинка 54.

Выпадение герба будем считать ’’успехом”. Это схема Бернулли с параметрамиСтатья 348 - Картинка 55

Обычно в рамках схемы Бернулли мы хотим вычислить вероятность не отдельного элементарного исхода, а некоторого более сложного события. Например, в предыдущем примере нас может интересовать вероятность того, что выпало ровно 3 герба. Такой вопрос является наиболее типичным для схемы Бернулли. Пусть Статья 348 - Картинка 56есть событие, состоящее в том, что в Статья 348 - Картинка 57независимых испытаниях мы получили ровно Статья 348 - Картинка 58успехов. По определению вероятности события

Статья 348 - Картинка 59,

где мы воспользовались тем, что вероятности элементарных исходов в Статья 348 - Картинка 60все одинаковые и вычисляются по формуле (3), а число различных исходов равно размещению Статья 348 - Картинка 61 единиц по Статья 348 - Картинка 62 мест без учета порядка.

Если нас интересует число успехов, а не когда именно они появились, то мы можем построить менее подробную модель.

Определение 6 . Биномиальной моделью с параметрами п и Статья 348 - Картинка 63называется вероятностное пространство Статья 348 - Картинка 64, где Статья 348 - Картинка 65

и

Статья 348 - Картинка 66,

Статья 348 - Картинка 67

Вероятности Статья 348 - Картинка 68, вычисляемые по формуле (4), образуют

так называемое биномиальное распределение. Нетрудно проверить, что они обладают обычными свойствами вероятностей:

  1. Статья 348 - Картинка 69
  2. Статья 348 - Картинка 70

и, кроме того, Статья 348 - Картинка 71

Часто в прикладных задачах нас интересует, какое число успехов Статья 348 - Картинка 72имеет наибольшую вероятность. Для этого сравним вероятность двух соседних значений.

Статья 348 - Картинка 73

Последнее выражение больше 1 при Статья 348 - Картинка 74и меньше 1 при Статья 348 - Картинка 75. Это приводит нас к следующим свойствам биномиальных вероятностей:

  1. если Статья 348 - Картинка 76, то при переходе от Статья 348 - Картинка 77 к Статья 348 - Картинка 78 вероятность возрастает,
  2. еслиСтатья 348 - Картинка 79, то при переходе от Статья 348 - Картинка 80 к Статья 348 - Картинка 81 вероятность убывает,
  3. если число Статья 348 - Картинка 82 - целое, то имеем два наиболее вероятных значения для числа успехов: Статья 348 - Картинка 83 и Статья 348 - Картинка 84,
  4. если число Статья 348 - Картинка 85 - дробное, то имеем одно наиболее вероятное значение Статья 348 - Картинка 86

Полезно нарисовать графики изменения вероятностей Статья 348 - Картинка 87 с изменением Статья 348 - Картинка 88для разных Статья 348 - Картинка 89 и Статья 348 - Картинка 90 .

Пример 2 . Симметричную игральную кость подбрасывают 6 раз. Найти вероятность того, что выпадут ровно два герба и наиболее вероятное число появлений шестерки.

В этой задачеСтатья 348 - Картинка 91. Тогда Статья 348 - Картинка 92

Число Статья 348 - Картинка 93 является дробным, поэтому наиболее вероятное число появлений шестерки есть Статья 348 - Картинка 94

Предельные теоремы в схеме Бернулли

Выше мы получили формулу, по которой можно рассчитать вероятность того, что в серии из Статья 348 - Картинка 95 испытаний Бернулли с вероятностью успеха Статья 348 - Картинка 96 будет получено ровно Статья 348 - Картинка 97успехов. А именно

Статья 348 - Картинка 98

В реальных задачах число испытаний бывает достаточно большим, и производить расчеты по этой формуле становится затруднительным. В этих случаях обычно стараются найти более простые выражения, которые асимптотически эквивалентны точным формулам, когда те или иные параметры меняются определенным образом. Для нашей модели существуют две аппроксимации, которые находят широкие приложения в практических задачах и, как мы увидим позднее, имеют и самостоятельное значение.

Теорема Пуассона. Пусть мы имеем схему Бернулли с параметрами Статья 348 - Картинка 99 и Статья 348 - Картинка 100. Пусть Статья 348 - Картинка 101,Статья 348 - Картинка 102так, что Статья 348 - Картинка 103,Статья 348 - Картинка 104

Тогда для любого фиксированного т Статья 348 - Картинка 105

Доказательство. Зафиксируем некоторое целое неотрицательное Статья 348 - Картинка 106. Тогда

Статья 348 - Картинка 107

Более аккуратный анализ позволяет доказать, что

Статья 348 - Картинка 1085

Если Статья 348 - Картинка 109иСтатья 348 - Картинка 110дляСтатья 348 - Картинка 111

Пример 3 . На некоторой телефонной станции 10 ООО номеров. В день через станцию поступает в среднем 30 ООО вызовов. Найти вероятность того, что по некоторому конкретному номеру будет ровно два звонка.

Предположим, что вызов по любому номеру является равновероятным и при каждом вызове номер выбирается независимо от других вызовов. Тогда мы имеем схему Бернулли с параметрами Статья 348 - Картинка 112. Используя теорему Пуассона, получаем Статья 348 - Картинка 113

Статья 348 - Картинка 114

Для распределения Пуассона составлены таблицы.

Другой асимптотический результат получается, если Статья 348 - Картинка 115, а Статья 348 - Картинка 116 выбрано так, что Статья 348 - Картинка 117, но величина Статья 348 - Картинка 118лежит в некотором фиксированном интервале Статья 348 - Картинка 119, где — Статья 348 - Картинка 120

Локальная теорема Муавра-Лапласа. Пусть мы имеем схему Бернулли с параметрами Статья 348 - Картинка 121и Статья 348 - Картинка 122. Тогда при Статья 348 - Картинка 123и фиксированном Статья 348 - Картинка 124

Статья 348 - Картинка 125

равномерно по всем т, для которых — Статья 348 - Картинка 126

Здесь Статья 348 - Картинка 127

Для функции Статья 348 - Картинка 128 составлены таблицы. Отметим, что Статья 348 - Картинка 129= Статья 348 - Картинка 130

Пример 4 . Симметричную монету подбрасывают 100 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 50 раз.

В этой задаче Статья 348 - Картинка 131. Тогда

Статья 348 - Картинка 132

Используя локальную теорему Муавра-Лапласа, получаем

Статья 348 - Картинка 133

Как видно из последнего примера, при больших Статья 348 - Картинка 134 и фиксированном Статья 348 - Картинка 135 вероятности Статья 348 - Картинка 136 для всех значений Статья 348 - Картинка 137 очень малы. Поэтому обычно интересуются не тем, какое конкретное число успехов будет в нашем эксперименте, а в каких пределах оно окажется. Например, мы может вычислить вероятность того, что число появлений герба при 100 подбрасываниях будет лежать в пределах от 40 до 60. В таких задачах оказывается полезной следующая теорема.

Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Пусть мы имеем схему Бернулли с параметрами Статья 348 - Картинка 138 и Статья 348 - Картинка 139. Если Статья 348 - Картинка 140, а Статья 348 - Картинка 141- фиксировано, то равномерно по всем Статья 348 - Картинка 142

Статья 348 - Картинка 1435

Где Статья 348 - Картинка 144 - число успехов в п испытаниях, а Статья 348 - Картинка 145

Более того, для любых Статья 348 - Картинка 146 имеет место оценка

Статья 348 - Картинка 147

Для функции Статья 348 - Картинка 148, называемой функцией распределения стандартного нормального закона, составлены таблицы. Она обладает свойствами:

  1. Статья 348 - Картинка 149
  2. Статья 348 - Картинка 150

В силу свойства 2 таблицы обычно составляют только для положительных или только для отрицательных Статья 348 - Картинка 151. Так как Статья 348 - Картинка 152, то для Статья 348 - Картинка 153 можно считать, что Статья 348 - Картинка 154. Очень часто вместо Статья 348 - Картинка 155 используют функциюСтатья 348 - Картинка 156, которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Она обладает следующими свойствами:

1)Статья 348 - Картинка 157

2)Статья 348 - Картинка 158

3)Статья 348 - Картинка 159

Для нее также составлены таблицы (для Статья 348 - Картинка 160). В силу свойства 3 ее можно использовать в интегральной теореме Муавра-Лапласа вместо функции Статья 348 - Картинка 161

Пример 5 . Симметричную монету подбрасывают 100 раз. Найти вероятность того, что число появившихся гербов будет лежать в пределах от 40 до 60.

В этой задаче Статья 348 - Картинка 162. В силу интегральной предельной теоремы Муавра-Лапласа

Статья 348 - Картинка 163

Статья 348 - Картинка 1645

Статья 348 - Картинка 165,

Статья 348 - Картинка 166

Применяя эту аппроксимацию, мы допускаем ошибку, которая не превышает величины Статья 348 - Картинка 167

Более точный анализ показывает, что эта ошибка гораздо меньше.

Интегральная предельная теорема Муавра-Лапласа является частным случаем более общего результата, называемого центральной предельной теоремой, доказательство которого будет приведено позднее.

Полиномиальное распределение

Последняя модель, а именно биномиальное распределение, имеет очевидное обобщение на случай, когда число исходов в каждом испытании одинаково, но, возможно, отлично от двух.

Пусть мы имеем последовательность независимых испытаний, каждое из которых кончается одним из Статья 348 - Картинка 168 исходов, вероятности которых равны соответственно Статья 348 - Картинка 169, и они одни и те же во всех испытаниях. Пусть, далее, Статья 348 - Картинка 170есть число появлений Статья 348 - Картинка 171-го исхода в этих Статья 348 - Картинка 172испытаниях. Тогда вектор Статья 348 - Картинка 173 дает нам описание того, чем закончился такой эксперимент. Используя те же рассуждения, что и в биномиальной модели, нетрудно доказать, что вероятность такого исхода вычисляется по формуле

Статья 348 - Картинка 174

Суммируя все вышеизложенное, приходим к определению.

Определение 7 . Вероятностное пространство Статья 348 - Картинка 175, в котором элементарные исходы Статья 348 - Картинка 176 имеют вид Статья 348 - Картинка 177, где Статья 348 - Картинка 178- целые неотрицательные числа такие, что Статья 348 - Картинка 179 Статья 348 - Картинка 180, а их вероятности вычисляются по формуле

Статья 348 - Картинка 181, называется полиномиальным распределением.

Пример 6 . Симметричный игральный кубик подбрасывают 10 раз. Найти вероятность событияСтатья 348 - Картинка 182, состоящего в том, что выпадут 2 шестерки и одна пятерка.

В этом эксперименте проводится 10 испытаний, в которых естественно фиксировать три различных исхода: выпали шестерка, пятерка и другая цифра, вероятности которых равны Статья 348 - Картинка 183и Статья 348 - Картинка 184соответственно. Тогда

Статья 348 - Картинка 185

При больших п расчеты по формуле (5) становятся затруднительными. В этом случае применяются асимптотические формулы, аналогичные тем, что мы рассматривали для биномиального распределения.

Задача 1 . Пусть мы провели Статья 348 - Картинка 186испытаний с тремя исходами, вероятности которых равны Статья 348 - Картинка 187иСтатья 348 - Картинка 188 соответственно. Предположим, что Статья 348 - Картинка 189,Статья 348 - Картинка 190,Статья 348 - Картинка 191 таким образом, что Статья 348 - Картинка 192,Статья 348 - Картинка 193. Тогда при фиксированных Статья 348 - Картинка 194и Статья 348 - Картинка 195

Статья 348 - Картинка 196