Последовательности испытаний - Полиномиальное распределение

Последняя модель, а именно биномиальное распределение, имеет очевидное обобщение на случай, когда число исходов в каждом испытании одинаково, но, возможно, отлично от двух.

Пусть мы имеем последовательность независимых испытаний, каждое из которых кончается одним из  исходов, вероятности которых равны соответственно , и они одни и те же во всех испытаниях. Пусть, далее, есть число появлений -го исхода в этих испытаниях. Тогда вектор  дает нам описание того, чем закончился такой эксперимент. Используя те же рассуждения, что и в биномиальной модели, нетрудно доказать, что вероятность такого исхода вычисляется по формуле

Суммируя все вышеизложенное, приходим к определению.

Определение 7 . Вероятностное пространство , в котором элементарные исходы  имеют вид , где - целые неотрицательные числа такие, что  , а их вероятности вычисляются по формуле

, называется полиномиальным распределением.

Пример 6 . Симметричный игральный кубик подбрасывают 10 раз. Найти вероятность события, состоящего в том, что выпадут 2 шестерки и одна пятерка.

В этом эксперименте проводится 10 испытаний, в которых естественно фиксировать три различных исхода: выпали шестерка, пятерка и другая цифра, вероятности которых равны и соответственно. Тогда

При больших п расчеты по формуле (5) становятся затруднительными. В этом случае применяются асимптотические формулы, аналогичные тем, что мы рассматривали для биномиального распределения.

Задача 1 . Пусть мы провели испытаний с тремя исходами, вероятности которых равны и соответственно. Предположим, что ,, таким образом, что ,. Тогда при фиксированных и