Предмет теории вероятностей

Теория вероятностей является математической наукой. Как и другие разделы математики, она имеет дело не напрямую с объектами и явлениями реального мира, а с их математическими моделями. Процесс построения математической модели, ее исследования и применения - довольно сложный многоступенчатый процесс. Вначале, наблюдая за реальным объектом, проводя эксперименты и накапливая факты, строят модели конкретных наук, таких, как физика, химия, биология, экономика и т.д. Далее, сравнивая различные модели, выделяя их существенные черты, отвлекаются от конкретных объектов и исследуют только структуру моделей. Это и приводит нас к математической модели. Изучая свойства математической модели, приходят к открытию новых эффектов и предсказанию поведения этого объекта в новых условиях, где он ранее не наблюдался. Таким образом, мы вновь возвращаемся к реальному объекту.

До возникновения теории вероятностей предметом математики были только модели таких явлений, в которых исход тех или иных экспериментов однозначно определялся заданием некоторого комплекса начальных условий. Классическим примером являются механические модели. Эксперименты такого типа будем называть детерминированными. Но нетрудно привести примеры и таких экспериментов, когда при возможной точности фиксации начальных условий исход эксперимента однозначно не определен, т.е. некоторое событие А при заданном комплексе условий К иногда происходит, а иногда нет. Такие эксперименты мы будем называть экспериментами с неопределенным исходом (термин ’’случайный” мы сохраним для более точных формулировок). Классическим примером является подбрасывание монеты. Какого типа закономерности можно изучать для таких неопределенных ситуаций? Сразу же оговоримся, что теория вероятностей имеет дело не с любыми экспериментами с неопределенным исходом, а только с так называемыми массовыми явлениями, когда экперимент проводится большое число раз в одинаковых условиях или рассматривается большая совокупность однородных объектов. Типичный вопрос теории вероятностей (с практической точки зрения) - насколько часто происходит данное событие А при заданном комплексе условий К в длинной серии испытаний. Чтобы перейти к более аккуратным формулировкам, уточним некоторые понятия. Пусть мы N раз провели некоторый эксперимент, в котором событие А произошло в N(A) испытаниях. Относительной частотой появления события А в N испытаниях называется число

Чтобы понять, модели каких экспериментов изучаются в теории вероятностей, рассмотрим простейший пример - подбрасывание монеты. Выполним 6 серий по 100 подбрасываний и в каждой серии подсчитаем число N(A) появлений события А, когда монета падала гербом вверх.

N = 100.

Серия

N(A)

hN (А)

1

56

0,56

2

48

0,48

3

52

0,52

4

50

0,50

5

47

0,47

6

46

0,46

Сгруппируем эти результаты в три серии по 200 подбрасываний.

N = 200

Серия

N(A)

hN(А)

1

104

0,520

2

104

0,510

3

93

0,465

Можно увеличивать число испытаний в одной серии и следить за поведением относительной частоты hN(А). В результате мы получаем последовательно: 0,56; 0,52; 0,52; 0,515; 0,506; 0,498. На этом примере мы видим, что выполнены следующие свойства:

1)   относительная частота hN(А) события А в длинной серии испытаний ’’тяготеет” к некоторому постоянному неслучайному числу;

2)   в разных сериях испытаний, но проводимых в одинаковых условиях, относительные частоты приблизительно равны;

3)   если мы из данной серии испытаний выберем некоторую под серию, не используя информацию о результатах эксперимента, то новая относительная частота тяготеет к тому же числу.

Будем говорить, что для некоторого эксперимента выполнено свойство статистической устойчивости частот, если выполнены свойства 1-3. Случайным экспериментом будем называть такой, в котором выполнено свойство устойчивости частот.

Теория вероятностей - это раздел математики, где изучаются модели массовых случайных явлений, для которых выполняется свойство устойчивости частот.

Число, к которому тяготеет относительная частота hn(A), будем называть вероятностью этого события. Вероятность события А измеряет меру возможности его появления в случайном эксперименте.

В теории вероятностей изучаются свойства вероятностей различных событий. Основная задача теории вероятностей как математической науки состоит в том, чтобы, зная вероятности одних событий, вычислить вероятности других, так или иначе связанных с первыми.