Случайная величина и ее распределение

Определение случайной величины и ее распределения

Во многих практических задачах мы имеем дело с такими экспериментами, в которых мы изучаем некоторые числовые характеристики. Приведем несколько примеров из тех, что встречались нам ранее.

Примеры.

  1. Симметричную монету подбрасываем три раза и отмечаем число выпавших гербов.
  2. Симметричную кость подбрасываем два раза и отмечаем сумму выпавших очков.
  3. Пусть мы имеем схему Бернулли с n испытаниями и подсчитываем число успехов.

Во всех этих примерах мы видим, что в результате эксперимента мы получаем некоторое число, которое однозначно определяется элементарным исходом. Это приводит нас к определению случайной величины как функции на пространстве элементарных исходов. Элементарные соображения, связанные с решением практических задач, показывают, что эта функция не может быть произвольной, а должна удовлетворять определенным ограничениям. Действительно, как отмечалось выше, вероятностное пространство есть тройка Статья 350 - Картинка 1. В качестве событий рассматриваются

только те подмножества пространства Статья 350 - Картинка 2, которые принадлежат Статья 350 - Картинка 3-алгебре Статья 350 - Картинка 4. Только им мы можем приписать некоторую вероятность. С практической точки зрения хотелось бы, чтобы все множества вида Статья 350 - Картинка 5, где Статья 350 - Картинка 6- случайная величина, были событиями и им можно было приписать вероятность. Это приводит нас к следующему определению.

Определение 1 . Пусть Статья 350 - Картинка 7- вероятностное пространство, а Статья 350 - Картинка 8- вещественная прямая с выделенной на ней борелевской Статья 350 - Картинка 9-алгеброй подмножеств. Случайной величиной называется функция Статья 350 - Картинка 10, которая обладает следующим свойством: Статья 350 - Картинка 11

Статья 350 - Картинка 12

Такая функция Статья 350 - Картинка 13называется измеримой. Таким образом, случайными величинами мы будем называть вещественные измеримые функции на пространстве Статья 350 - Картинка 14. Случайные величины мы будем обозначать в дальнейшем греческими буквами Статья 350 - Картинка 15 и т. д.

Замечание. С практической точки зрения достаточно было бы потребовать выполнения свойства 1 для интервалов, т. е. когда Статья 350 - Картинка 16. Но нетрудно доказать, что тогда оно справедливо и для любых борелевских множеств (задача!).

Определение 2 . Распределением случайной величины Статья 350 - Картинка 17 называется функция Статья 350 - Картинка 18, заданная на борелевской Статья 350 - Картинка 19-алгебре Статья 350 - Картинка 20 по правили: Статья 350 - Картинка 21

Статья 350 - Картинка 22

Распределение вероятностей случайной величины Статья 350 - Картинка 23 показывает, какова вероятность попадания случайной величины в то или иное множество. Необходимо отметить, что наша модель случайной величины как функции на пространстве элементарных исходов - это некоторая абстракция. В реальном эксперименте мы производим измерение и получаем конкретное число. По большому числу независимых измерений мы можем вычислить частоты, а значит, и вероятности попадания в различные множества и больше ничего. Таким образом, объективной характеристикой случайной величины является ее распределение, так как только его мы можем восстановить на основе результатов эксперимента.

Но распределение случайной величины - это довольно сложный объект, так как надо задать вероятность Статья 350 - Картинка 24 для всех борелевских множеств Статья 350 - Картинка 25, которых достаточно много. Для более компактного описания распределения вводится понятие функции распределения.

Определение 3 . Функция распределения Статья 350 - Картинка 26 случайной величины Статья 350 - Картинка 27определяется по правилу: Статья 350 - Картинка 28

Статья 350 - Картинка 29

Используя свойства вероятностей событий, нетрудно доказать следующее

Предложение 1 . Если Статья 350 - Картинка 30- функция распределения случайной величины Статья 350 - Картинка 31, то

  1. Статья 350 - Картинка 32, 0Статья 350 - Картинка 331,
  2. Если Статья 350 - Картинка 34, то Статья 350 - Картинка 35,
  3. Статья 350 - Картинка 36- непрерывна слева,
  4. Статья 350 - Картинка 37
  5. Статья 350 - Картинка 38

Доказательство. Свойство 1 следует из свойств вероятностей событий. Определим событие Статья 350 - Картинка 39. Если Статья 350 - Картинка 40, то Статья 350 - Картинка 41 и Статья 350 - Картинка 42

Пусть последовательность Статья 350 - Картинка 43 монотонно возрастает и Статья 350 - Картинка 44=Статья 350 - Картинка 45. Тогда последовательность событий Статья 350 - Картинка 46 также монотонно возрастает и Статья 350 - Картинка 47. Используя свойства непрерывности вероятности, получаем Статья 350 - Картинка 48

Аналогично доказывается свойство 4.

Нетрудно заметить, что Статья 350 - Картинка 49

Тогда

Статья 350 - Картинка 50

Замечание. Зная функцию распределения Статья 350 - Картинка 51 случайной величины Статья 350 - Картинка 52, мы можем восстановить и все распределение. Наметим схему доказательства.

  1. Для интервалов вида Статья 350 - Картинка 53 вероятность находится из свойства 5 функции распределения.
  2. Если борелевское множествоСтатья 350 - Картинка 54 есть сумма конечного или счетного числа непересекающихся интервалов, то вероятность попадания в такое множество равна сумме вероятностей попадания в составляющие его интервалы.
  3. Произвольное борелевское множество можно аппроксимировать (в определенном смысле) множествами из пункта 2 так, что вероятность попадания в это борелевское множество является пределом вероятностей попадания в аппроксимирующие множества (пример - площадь круга).

Классификация распределений

В реальных задачах нам редко приходится работать с распределениями общего типа. Чаще всего мы имеем дело с так называемыми дискретными и абсолютно непрерывными распределениями и их смесями. Ниже мы приводим соответствующие определения и примеры.

Определение 4 . Случайная величина Статья 350 - Картинка 55 имеет дискретное распределение, если существует такое конечное или счетное множество Статья 350 - Картинка 56, чтоСтатья 350 - Картинка 57. Числа Статья 350 - Картинка 58называются значениями случайной величины Статья 350 - Картинка 59, а Статья 350 - Картинка 60 вероятностями этих значений.

Предложение 2 . Пусть случайная величина Статья 350 - Картинка 61имеет дискретное распределение с множеством значений Статья 350 - Картинка 62и вероятностями этих значений Статья 350 - Картинка 63. Тогда

1. Статья 350 - Картинка 64

2.Статья 350 - Картинка 65

3.Статья 350 - Картинка 66

В частности,

4. Статья 350 - Картинка 67

Обратно

5.Статья 350 - Картинка 68

6.Статья 350 - Картинка 69

Задача 1 Доказать предложение 2.

Из свойства3 мы видим, что, зная множество значений Статья 350 - Картинка 70 и вероятности Статья 350 - Картинка 71 всех возможных значений, можно восстановить и все распределение Статья 350 - Картинка 72. Поэтому пару Статья 350 - Картинка 73 называют распределением дискретной случайной величины (что, строго говоря, не совсем верно) и записывают ее в виде таблицы распределения

Статья 350 - Картинка 74

Пример 1 . Симметричную монету подбрасывают три раза, случайная величина Статья 350 - Картинка 75 есть число выпавших гербов. Это дискретная величина с таблицей распределения

Статья 350 - Картинка 76

Определение 5 . Распределение случайной величины Статья 350 - Картинка 77 называется абсолютно непрерывным, если существует такая вещественная функция Статья 350 - Картинка 78, что Статья 350 - Картинка 79

Статья 350 - Картинка 80

Функция Статья 350 - Картинка 81 называется плотностью распределения случайной величины Статья 350 - Картинка 82.

В дальнейшем абсолютно непрерывные распределения будут называться просто непрерывными.

Предложение 3 . Пусть случайная величина Статья 350 - Картинка 83 имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью распределения Статья 350 - Картинка 84 Тогда справедливы следующие свойства.

1.Статья 350 - Картинка 85

2.Статья 350 - Картинка 86

3.Статья 350 - Картинка 87

В частности,

4.Статья 350 - Картинка 88

5. Статья 350 - Картинка 89

Обратно

6.Статья 350 - Картинка 90, гдеСтатья 350 - Картинка 91непрерывнаСтатья 350 - Картинка 92.

7.Статья 350 - Картинка 93

Задача 2 . Доказать предложение 3.

Свойства 1 и 2 являются характеристическими свойствами плотности распределения. Любая функция Статья 350 - Картинка 94, обладающая свойствами 1 и 2, является плотностью распределения некоторой случайной величины Статья 350 - Картинка 95. Из свойства 3 мы видим, что, зная плотность распределения, мы можем восстановить и все распределение.

Пример 2. Из отрезка Статья 350 - Картинка 96 случайным образом выбирают точку, Ј-координата выбранной точки.

Используя геометрическое определение вероятности, получаем

Статья 350 - Картинка 97,

иСтатья 350 - Картинка 98

Статья 350 - Картинка 99,

Это равномерное распределение на отрезке Статья 350 - Картинка 100

Кроме дискретных и абсолютно непрерывных, существуют еще так называемые сингулярные распределения. В нашем курсе мы не будем рассматривать распределения такого типа.

Определение 6. Пусть Статья 350 - Картинка 101- конечное или счетное множество, Статья 350 - Картинка 102- некоторый набор положительных чисел, а Статья 350 - Картинка 103 - некоторая неотрицательная функция. Распределение случайной величины называется смешанным, если Статья 350 - Картинка 104

Статья 350 - Картинка 105называется дискретной компонентой, а плотность Статья 350 - Картинка 106- непрерывной компонентой распределения с.в. Статья 350 - Картинка 107. Числа Статья 350 - Картинка 108

называются весами соответствующих компонент. Ясно, что Статья 350 - Картинка 109Статья 350 - Картинка 110. Если распределение содержит только одну компоненту, то оно называется чистым.

Пример 3 . Из отрезка Статья 350 - Картинка 111 случайным образом выбираем точку Статья 350 - Картинка 112

Статья 350 - Картинка 113,

Такого типа преобразования часто применяются в теории страхования. Случайная величина Статья 350 - Картинка 114 имеет две дискретные точки Статья 350 - Картинка 115 Статья 350 - Картинка 116 и Статья 350 - Картинка 117с вероятностями Статья 350 - Картинка 118, Статья 350 - Картинка 119Статья 350 - Картинка 120 и равномерное распределение на отрезке Статья 350 - Картинка 121, т.е. Статья 350 - Картинка 122 при Статья 350 - Картинка 123. Веса компонент равны Статья 350 - Картинка 124 и Статья 350 - Картинка 125

Примеры стандартных распределений

В этом разделе мы приведем несколько примеров дискретных и непрерывных распределений, которые применяются как при исследовании теоретических вопросов, так и при решении практических задач.

1. Случайная величина Статья 350 - Картинка 126 имеет вырожденное в точке Статья 350 - Картинка 127 распределение, еслиСтатья 350 - Картинка 128 Фактически мы имеем не случайную величину, а константу.

2. Случайная величина Статья 350 - Картинка 129 называется индикатором события Статья 350 - Картинка 130, еслиСтатья 350 - Картинка 131

Это дискретная случайная величина с множеством значений Статья 350 - Картинка 132 Статья 350 - Картинка 133 и вероятностями значений Статья 350 - Картинка 134Статья 350 - Картинка 135. Ее распределение называется распределением Бернулли с параметром Статья 350 - Картинка 136. Обозначение: Статья 350 - Картинка 137

Индикатор события является в некотором смысле ’’элементарным кирпичиком” при построении произвольных дискретных случайных величин.

Задача 3 . Пусть Статья 350 - Картинка 138 есть дискретная случайная величина с множеством значений Статья 350 - Картинка 139и вероятностями значений Статья 350 - Картинка 140. Обозначим Статья 350 - Картинка 141. Тогда VСтатья 350 - Картинка 142 ЮСтатья 350 - Картинка 143

3)Статья 350 - Картинка 144

3. Дискретная случайная величина Статья 350 - Картинка 145 имеет биноминальное распределение с параметрами Статья 350 - Картинка 146 и Статья 350 - Картинка 147, если Статья 350 - Картинка 148и Статья 350 - Картинка 149

В этом случае будем писать Статья 350 - Картинка 150. Здесь Статья 350 - Картинка 151- целое число, Статья 350 - Картинка 152. Эта случайная величина есть число успехов в п независимых испытаниях схемы Бернулли. Такие величины часто появляются в теории страхования, социологии, экономике, физике и других науках.

4. Дискретная случайная величина Статья 350 - Картинка 153 имеет геометрическое распределение с параметром Статья 350 - Картинка 154, если Статья 350 - Картинка 155и Статья 350 - Картинка 156

Здесь Статья 350 - Картинка 157. Эта случайная величина равна числу испытаний в схеме Бернулли, предшествующих появлению первого успеха.

5. Дискретная случайная величина Статья 350 - Картинка 158 имеет отрицательное биноминальное распределение с параметрами Статья 350 - Картинка 159 и Статья 350 - Картинка 160, Статья 350 - Картинка 161-целое, Статья 350 - Картинка 162, если Статья 350 - Картинка 163 и Статья 350 - Картинка 164

При Статья 350 - Картинка 165= 1 получаем геометрическое распределение. Эти случайные величины равны числу испытаний в схеме Бернулли, предшествующих появлению Статья 350 - Картинка 166-го успеха. Это распределение часто используется в теории страхования при описании числа исков, поступивших в страховую компанию за определенный промежуток времени.

6. Дискретная случайная величина Статья 350 - Картинка 167 имеет распределение Пуассона с параметром Статья 350 - Картинка 168, если Статья 350 - Картинка 169 и Статья 350 - Картинка 170

Появляется как предельный случай для биноминального распределения, если Статья 350 - Картинка 171. Часто используется в теории страхования, теории массового обслуживания, теории надежности и других прикладных разделах теории вероятностей. Описывает, как правило, число исков, заявок, отказов, поступивших за определенный промежуток времени.

7. Случайная величина Статья 350 - Картинка 172 имеет равномерное на отрезке Статья 350 - Картинка 173 распределение, если у нее существует плотность Статья 350 - Картинка 174

Эта модель часто используется для описания распределения случайного момента времени, если известно, что он меняется в ограниченном интервале.

8. Случайная величина Статья 350 - Картинка 175 имеет показательное распределение с параметром Статья 350 - Картинка 176, если она обладает плотностью Статья 350 - Картинка 177

Это распределение обладает целым рядом замечательных свойств и часто используется при описании времени между поступлениями двух последовательных заявок, исков, отказов и т.п.

9. Случайная величина Статья 350 - Картинка 178 имеет гамма-распределение с параметрами Статья 350 - Картинка 179, если оно обладает плотностью

Статья 350 - Картинка 180 где Статья 350 - Картинка 181

есть гамма-функция Эйлера. Напомним, что гамма-функция обладает следующими свойствами:

Статья 350 - Картинка 182

Это распределение находит применение в теории массового обслуживания, теории надежности, теории страхования и риска и других прикладных разделах теории вероятностей. При Статья 350 - Картинка 183 Статья 350 - Картинка 184 получаем показательное распределение с параметром Статья 350 - Картинка 185.

10. Случайная величина Статья 350 - Картинка 186 имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами Статья 350 - Картинка 187,Статья 350 - Картинка 188, если оно обладает плотностью

Статья 350 - Картинка 189

Мы будем использовать обозначение Статья 350 - Картинка 190

Если Статья 350 - Картинка 191, то мы имеем стандартное нормальное

распределение. В этом случае Статья 350 - Картинка 192

Функция Статья 350 - Картинка 193 есть функция распределения стандартного нормального закона. Часто используется другая функция Статья 350 - Картинка 194 которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Справедливы следующие соотношения:

Статья 350 - Картинка 195

Для функций Статья 350 - Картинка 196,Статья 350 - Картинка 197 и Статья 350 - Картинка 198 составлены подробные таблицы

(смотри, например, Большев Л.H., Смирнов Н.И. ’’Таблицы математической статистики”). Ниже будет показано: если Статья 350 - Картинка 199, то случайная величина Статья 350 - Картинка 200 имеет стандартное нормальное распределение. Таким образом, зная Статья 350 - Картинка 201 или Статья 350 - Картинка 202, мы можем вычислять вероятности для случайных величин с произвольным нормальным распределением. Например,

Статья 350 - Картинка 203 т. е. практически достоверно, что случайная величина Статья 350 - Картинка 204отклоняется от точки а на расстояние не более Статья 350 - Картинка 205. Этот результат часто применяется на практике и носит название ’’правило трех Статья 350 - Картинка 206”.

Функциональные преобразования случайной величины.

Одной из наиболее важных прикладных задач, связанных со случайными величинами, является задача нахождения распределения функции от случайной величины. При этом в качестве функционального преобразования нужно брать такое, чтобы мы получили вновь случайную величину.

Определение 7. Функция Статья 350 - Картинка 207: Статья 350 - Картинка 208называется борелевской, если Статья 350 - Картинка 209множество Статья 350 - Картинка 210

также является борелевским.

Если Статья 350 - Картинка 211 есть случайная величина, а Статья 350 - Картинка 212

борелевская функция, то Статья 350 - Картинка 213 также является случайной величиной. Действительно, Статья 350 - Картинка 214

ТогдаСтатья 350 - Картинка 215является случайным событием для любогоСтатья 350 - Картинка 216

Найдем распределение с.в.Статья 350 - Картинка 217. По определению Статья 350 - Картинка 218 т. е.

Статья 350 - Картинка 219

Покажем, как это можно записать в терминах функций распределения. В общем случае это сделать не удается, но в некоторых специальных случаях можно получить удовлетворительные результаты.

Предложение 4 . Пусть Статья 350 - Картинка 220- строго монотонная функция.

Тогда для Статья 350 - Картинка 221 мы имеем Статья 350 - Картинка 222, если Статья 350 - Картинка 223 строго возрастает, и Статья 350 - Картинка 224, если Статья 350 - Картинка 225строго убывает.

Доказательство. Докажем результат для случая строго возрастающей функцииСтатья 350 - Картинка 226. Второй случай доказывается аналогично. По определению функции распределения Статья 350 - Картинка 227

Примеры.

1.Статья 350 - Картинка 228. Тогда для Статья 350 - Картинка 229 получаем Статья 350 - Картинка 230

В частности, еслиСтатья 350 - Картинка 231имеет плотностьСтатья 350 - Картинка 232, то существует Статья 350 - Картинка 233

2. Если Статья 350 - Картинка 234, то Статья 350 - Картинка 235

Рассмотрим теперь подробнее случаи дискретного и абсолютно непрерывного распределений.

Если Статья 350 - Картинка 236 имеет дискретное распределение с множеством значенийСтатья 350 - Картинка 237 и вероятностями появления значений Статья 350 - Картинка 238Статья 350 - Картинка 239, то случайная величина Статья 350 - Картинка 240 также будет иметь дискретное распределение с множеством значений Статья 350 - Картинка 241, где

Статья 350 - Картинка 242для некоторого Статья 350 - Картинка 243, и вероятностями значений

Статья 350 - Картинка 244

Пример. Случайная величина Статья 350 - Картинка 245 имеет дискретное распределение следующего вида:

Статья 350 - Картинка 246

Тогда случайная величина Статья 350 - Картинка 247 является дискретной и принимает значения 0,1 и 4 с вероятностями

Статья 350 - Картинка 248,

Статья 350 - Картинка 249,

Статья 350 - Картинка 250

Если Статья 350 - Картинка 251 имеет непрерывное распределение с плотностью Статья 350 - Картинка 252, то распределение случайной величины Статья 350 - Картинка 253 может и не являться непрерывным. Более того, оно может быть даже дискретным.

Пример, Статья 350 - Картинка 254 имеет равномерное на Статья 350 - Картинка 255 распределение, Статья 350 - Картинка 256

Случайная величина Статья 350 - Картинка 257 принимает два значения 0 и 1 с равными вероятностями Статья 350 - Картинка 258

Таким образом, на функцию Статья 350 - Картинка 259 необходимо наложить некоторые дополнительные ограничения. Один частный, но практически важный случай рассматривается в следующей теореме.

Теорема 1 . Пусть с.в. Статья 350 - Картинка 260 имеет непрерывное распределение с плотностью Статья 350 - Картинка 261, Статья 350 - Картинка 262 - строго-монотонная дифференцируемая функция. Тогда с.в. Статья 350 - Картинка 263 также имеет непрерывное распределение и ее плотность имеет вид

Статья 350 - Картинка 264

Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда Статья 350 - Картинка 265 строго возрастает. Пусть Статья 350 - Картинка 266 такая точка, что Статья 350 - Картинка 267

Используя правила дифференцирования сложной и обратной функций, получаем

Статья 350 - Картинка 268. Тогда Статья 350 - Картинка 269

Доказательство для строго убывающей функции аналогично.

Аналогичную теорему можно сформулировать и для случая немонотонных функций Статья 350 - Картинка 270. Но такого рода результат редко используется в реальных задачах. Обычно легче провести заново все расчеты в каждом конкретном случае.

Пример. С.в. Статья 350 - Картинка 271, найти распределение с.в. Статья 350 - Картинка 272

Статья 350 - Картинка 273

Новая случайная величина Статья 350 - Картинка 274 принимает только положительные значения. Пусть Статья 350 - Картинка 275I.