Случайная величина и ее распределение

Определение случайной величины и ее распределения

Во многих практических задачах мы имеем дело с такими экспериментами, в которых мы изучаем некоторые числовые характеристики. Приведем несколько примеров из тех, что встречались нам ранее.

Примеры.

  1. Симметричную монету подбрасываем три раза и отмечаем число выпавших гербов.
  2. Симметричную кость подбрасываем два раза и отмечаем сумму выпавших очков.
  3. Пусть мы имеем схему Бернулли с n испытаниями и подсчитываем число успехов.

Во всех этих примерах мы видим, что в результате эксперимента мы получаем некоторое число, которое однозначно определяется элементарным исходом. Это приводит нас к определению случайной величины как функции на пространстве элементарных исходов. Элементарные соображения, связанные с решением практических задач, показывают, что эта функция не может быть произвольной, а должна удовлетворять определенным ограничениям. Действительно, как отмечалось выше, вероятностное пространство есть тройка . В качестве событий рассматриваются

только те подмножества пространства , которые принадлежат  -алгебре . Только им мы можем приписать некоторую вероятность. С практической точки зрения хотелось бы, чтобы все множества вида , где - случайная величина, были событиями и им можно было приписать вероятность. Это приводит нас к следующему определению.

Определение 1 . Пусть - вероятностное пространство, а - вещественная прямая с выделенной на ней борелевской -алгеброй подмножеств. Случайной величиной называется функция , которая обладает следующим свойством: 

Такая функция называется измеримой. Таким образом, случайными величинами мы будем называть вещественные измеримые функции на пространстве . Случайные величины мы будем обозначать в дальнейшем греческими буквами  и т. д.

Замечание. С практической точки зрения достаточно было бы потребовать выполнения свойства 1 для интервалов, т. е. когда  . Но нетрудно доказать, что тогда оно справедливо и для любых борелевских множеств (задача!).

Определение 2 . Распределением случайной величины  называется функция , заданная на борелевской -алгебре  по правили: 

Распределение вероятностей случайной величины  показывает, какова вероятность попадания случайной величины в то или иное множество. Необходимо отметить, что наша модель случайной величины как функции на пространстве элементарных исходов - это некоторая абстракция. В реальном эксперименте мы производим измерение и получаем конкретное число. По большому числу независимых измерений мы можем вычислить частоты, а значит, и вероятности попадания в различные множества и больше ничего. Таким образом, объективной характеристикой случайной величины является ее распределение, так как только его мы можем восстановить на основе результатов эксперимента.

Но распределение случайной величины - это довольно сложный объект, так как надо задать вероятность  для всех борелевских множеств , которых достаточно много. Для более компактного описания распределения вводится понятие функции распределения.

Определение 3 . Функция распределения  случайной величины определяется по правилу: 

Используя свойства вероятностей событий, нетрудно доказать следующее

Предложение 1 . Если - функция распределения случайной величины , то

  1. , 01,
  2. Если ,  то ,
  3. - непрерывна слева,

Доказательство. Свойство 1 следует из свойств вероятностей событий. Определим событие . Если , то  и 

Пусть последовательность  монотонно возрастает и =. Тогда последовательность событий  также монотонно возрастает и . Используя свойства непрерывности вероятности, получаем 

Аналогично доказывается свойство 4.

Нетрудно заметить, что 

Тогда

Замечание. Зная функцию распределения  случайной величины , мы можем восстановить и все распределение. Наметим схему доказательства.

  1. Для интервалов вида  вероятность находится из свойства 5 функции распределения.
  2. Если борелевское множество есть сумма конечного или счетного числа непересекающихся интервалов, то вероятность попадания в такое множество равна сумме вероятностей попадания в составляющие его интервалы.
  3. Произвольное борелевское множество можно аппроксимировать (в определенном смысле) множествами из пункта 2 так, что вероятность попадания в это борелевское множество является пределом вероятностей попадания в аппроксимирующие множества (пример - площадь круга).