Случайный вектор

Распределение случайного вектора

Во многих реальных задачах мы имеем не одну, а несколько случайных величин в одном и том же эксперименте. Иногда их удобно рассматривать как единый объект. Это приводит нас к следующему определению.

Определение 1. -мерным случайным вектором называется набор случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве 

Фактически случайный векторесть отображение Нетрудно показать (задача 1), что это отображение является борелевским, т.е. для любого борелевского подмножества  (-алгебру всех борелевских подмножеств в мы будем обозначать ) мы имеем . Как и для случайных величин, можно дать следующее

Определение 2 . Распределением случайного вектора  называется функция , заданная на -алгебре по правилу  

Распределение является объективной характеристикой случайного вектора, которую можно однозначно восстановить из эксперимента. Но распределение, будучи удобной характеристикой в теоретических исследованиях, является довольно сложным для реальных задач. Как и в одномерном случае, используют понятие функции распределения.

Определение 3. Функцией распределения случайного вектора называется функция , такая, что  

Основные свойства функции распределения случайного вектора собраны в следующем предложении.

Предложение 1 . Функция распределения  случайного вектора  обладает следующими  свойствами:

1..

2. не убывает по каждому аргументу ,.

3. - непрерывна слева по каждому аргументу х,-И i = 1,п.

4. , если некоторое , если все .

5-

Где 

6.  есть функция распределения  случайного вектора

Задача 1 . Доказать предложение 1.

Замечание. В силу свойства 5 по функции распределения  можно найти вероятности попадания в множества . Далее, так же как и в одномерном случае, можно восстановить распределение  для любых борелевских множеств В, аппроксимируя их параллелограммами.