Случайный вектор

{toc_noshowall}

Распределение случайного вектора

Во многих реальных задачах мы имеем не одну, а несколько случайных величин в одном и том же эксперименте. Иногда их удобно рассматривать как единый объект. Это приводит нас к следующему определению.

Определение 1. -мерным случайным вектором называется набор случайных величин, заданных на одном и том же вероятностном пространстве 

Фактически случайный векторесть отображение Нетрудно показать (задача 1), что это отображение является борелевским, т.е. для любого борелевского подмножества  (-алгебру всех борелевских подмножеств в мы будем обозначать ) мы имеем . Как и для случайных величин, можно дать следующее

Определение 2 . Распределением случайного вектора  называется функция , заданная на -алгебре по правилу  

Распределение является объективной характеристикой случайного вектора, которую можно однозначно восстановить из эксперимента. Но распределение, будучи удобной характеристикой в теоретических исследованиях, является довольно сложным для реальных задач. Как и в одномерном случае, используют понятие функции распределения.

Определение 3. Функцией распределения случайного вектора называется функция , такая, что  

Основные свойства функции распределения случайного вектора собраны в следующем предложении.

Предложение 1 . Функция распределения  случайного вектора  обладает следующими  свойствами:

1..

2. не убывает по каждому аргументу ,.

3. - непрерывна слева по каждому аргументу х,-И i = 1,п.

4. , если некоторое , если все .

5-

Где 

6.  есть функция распределения  случайного вектора

Задача 1 . Доказать предложение 1.

Замечание. В силу свойства 5 по функции распределения  можно найти вероятности попадания в множества . Далее, так же как и в одномерном случае, можно восстановить распределение  для любых борелевских множеств В, аппроксимируя их параллелограммами.

Как и в одномерном случае, мы выделим два важных частных случая распределений, которые наиболее часто используются на практике. Конечно, бывают и более общие примеры, но мы не будем их подробно рассматривать в нашем курсе.

Определение 4 . Случайный вектор имеет дискретное распределение, если существует конечное или счетное множество , такое, что 

Если - одно из возможных значений случайного вектора , то  называется вероятностью

появления значения .

Обычно используют следующую стандартную форму описания распределения дискретного случайного вектора. Ясно, что каждая координата  случайного вектора  имеет дискретное распределение. Пусть есть множество значений случайной величины . Образуем множество   В 

Задача. Доказать, что , т.е. можно взять в качестве множества значений случайного вектора .

Для произвольного вектора , где , обозначим через 

вероятность появления значения  случайного вектора . При таком выборе множества  некоторые его элементы будут появляться с вероятностью 0.

Пример. Случайный вектор  имеет два значения (1,1) и (2, 2), которые появляются с вероятностями . Точка = (1, 2) входит в построенное выше множество, но 

Пару  будем называть распределением дискретного случайного вектора , хотя, строго говоря, это не совсем точно. Для  распределение дискретного случайного вектора

обычно задают в виде следующей таблицы, называемой таблицей распределения:

Здесь - множество значений для - множество значений для , а 

Предложение 2. Распределение  дискретного случайного вектора обладает следующими  свойствами:

1)

2)

3)

,

4) 

Все эти свойства легко следуют из приведенных выше определений и свойств вероятностей. Поэтому доказательство этого предложения предлагается в виде задачи.

Пример. Пусть мы приводим  независимых испытаний, каждое из которых может закончиться одним из  исходов  и вероятности появления этих исходов одни и те же в каждом испытании и равны . Пусть  есть число появлений -го исхода в этих -испытаниях. Тогда  есть дискретный случайный вектор. Его значениями являются векторы, такие, что - целые неотрицательные числа и  Как было показано выше, при изучении последовательностей независимых испытаний

 

Такое распределение называется полиномиальным распределением с параметрами 

Определение 5 . Случайный вектор  имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует вещественная функция ,, такая, что

Функция  называется плотностью распределения случайного вектора .

Нетрудно доказать следующее утверждение, доказательство которого предлагается в качестве задачи.

Предложение 3 . Случайный вектор  имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью ,

Тогда справедливы следующие свойства:

1)

2)

3)

4)

,

5)Если - точка непрерывности плотности ,

То ,

6) плотность случайного вектора можно вычислить по формуле 

Замечание. Если мы имеем некоторый случайный вектор , то, выбирая некоторые из его координат, например первые , мы получаем новый случайный вектор, который называютподвектором вектора . Выше было показано, как найти распределение подвектора, когда убирают одну из координат. Применяя эту процедуру несколько раз, мы сможем найти распределение произвольногоподвектора. Распределение отдельно взятой координаты  вектора  называется одномерным или маргинальным распределением.

Как и в одномерном случае, можно ввести понятие смеси распределений, но мы не будем его рассматривать подробно так как здесь не возникает ничего нового.

Примеры. 1. Случайный вектор  имеет равномерное распределение в области D, если он обладает плотностью распределения следующего вида: 

где  - мера Лебега области D. Фактически мы имеем дело с геометрическим определением вероятности.

2. Случайный вектор  имеет двумерное нормальное распределение, если он обладает плотностью распределения следующего вида:

Числа  называются параметрами двумерного нормального распределения. Их вероятностный смысл будет выяснен позднее.

При изучении свойств вероятностей случайных событий мы видели, что понятие независимости событий играет важную роль при вычислении вероятностей сложных событий. Аналогично понятие независимости является центральным понятием в теории случайных величин, их функциональных преобразований и других вопросах.

Определение 6 . Случайные величины  называются не зависимыми, если для любых борелевских  

Дадим эквивалентные формулировки понятия независимости случайных величин в терминах функций распределения, а также для случаев дискретных и непрерывных распределений.

Предложение 4 . Пусть мы имеем случайный вектор . Его компоненты независимы тогда и только тогда, когда

В случае дискретных распределений условие независимости эквивалентно условию

,

а в случае непрерывных – условию 

Доказательство. Рассмотрим множества

Для них из (3) следует (4). Обратно, из (4) легко получить (3) для параллелепипедов, а затем аппроксимировать произвольные 1ѕ с помощью сумм отрезков. Свойство (6) получается из (4) дифференцированием. Свойство(5) следует непосредственно из определения независимости.

Пример 1. Пусть мы имеем схему Бернулли с параметрами  и  . Пусть = 1, если в-м испытании был ’’успех”, и равно 0 в противном случае. Тогда случайные величины -независимы.

Кстати, число успехов  в этих  испытаниях представимо в виде

Пример 2. Пусть  имеет двумерное нормальное распределение. будут независимы тогда и только тогда, когда (задача!).

Нетрудно доказать следующий полезный результат (задача!).

Предложение 5 . Пусть случайные величины - независимы, а и  - борелевские функции. Тогда случайные величины и  также являются независимыми.

Пример 3. Пусть мы имеем схему Бернулли с  испытаниями. Тогда число успехов  в первых  испытаниях и число успехов  в последующих испытаниях - независимые случайные величины.

Как и в одномерном случае, важной с практической точки зрения является задача о вычислении распределения функционального преобразования случайного вектора.

Определение 7 . Отображениеназывается борелевским, если мы имеем 

Если - борелевское отображение,  - случайный вектор, то вновь является случайным вектором. Действительно, если , то , а . Отсюда нетрудно получить выражение для распределения вектора, если мы знаем распределение вектора 

Рассмотрим теперь отдельно случаи дискретного и непрерывного распределений.

Если  имеет дискретное распределение с множеством значений  и вероятностями  появления этим значений, то ясно, что случайный вектор  также имеет дискретное распределение с множеством значений , где каждое для некоторого , а вероятности  появления значения можно  вычислить по формуле

Пример. Пусть  - двумерный случайный вектор с дискретным распределением,  - вероятность появления некоторого значения . Рассмотрим функцию

. Тогда  есть  дискретная  случайная величина и вероятность того, что , где - одно из возможных значений суммы , можно рассчитать по формуле

Если  и  независимы, то

 В этом случае мы получаем 

Это формула свертки для дискретных распределений.

Пусть теперь - случайный вектор, который имеет плотность распределения . Как и в одномерном случае, распределение случайного вектора может не иметь плотности и даже быть дискретным. Необходимы некоторые дополнительные ограничения на функцию . Рассмотрим один частный, но практически важный случай.

Предложение 6 . Пусть - случайный вектор, который имеет плотность распределения - взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение. Тогда распределение случайного вектора является абсолютно непрерывным и его плотность можно вычислить по формуле

 где - якобиан отображения  

Доказательство этого предложения дословно повторяет доказательство в одномерном случае, но теперь мы должны сделать замену переменных в 

Пример. Пусть , где - невырожденная квадратная матрица размера , т.е. мы имеем линейное отображение в . В этом случае  и 

В тех случаях, когда , последнее предложение не применимо. Но часто можно дополнить отображение  еще одним отображениемтак, чтобы отображение  уже обладало нужными свойствами.

Пример. Пусть случайный вектор  имеет плотность распределения . Найдем плотность распределения случайной величины . Здесь . Рассмотрим еще одну случайную величину . Тогда в целом мы имеем следующее линейное отображение . Матрица  этого отображения имеет вид  , а обратная матрица  равна 

В предыдущем примере мы получили, что

Чтобы найти плотность распределения для , достаточно проинтегрировать по координате, т.е.

Если  и - независимы, то . Заменяя  на, получаем 

Это формула свертки для непрерывных распределений.

В более сложных ситуациях, когда не удается свести задачу к предложению б, необходимо провести прямые расчеты, вычисляя распределение (например, функцию распределения), а затем находя плотность. Технически это сводится к нахождению множества  и вычислению интеграла от  по этому множеству.

Чтобы продемонстрировать, как работает этот метод, рассмотрим тот же самый пример: . Вычислим для  функцию распределения:

Фактически нам нужно найти вероятность попадания случайного вектора в множество 

Тогда мы имеем

Таким образом, мы имеем тот же результат, что и ранее.

Дифференцируя по , окончательно получаем

Далее, расписывая двойной интеграл в виде повторного, получаем