Случайный вектор - Независимые случайные величины

При изучении свойств вероятностей случайных событий мы видели, что понятие независимости событий играет важную роль при вычислении вероятностей сложных событий. Аналогично понятие независимости является центральным понятием в теории случайных величин, их функциональных преобразований и других вопросах.

Определение 6 . Случайные величины  называются не зависимыми, если для любых борелевских  

Дадим эквивалентные формулировки понятия независимости случайных величин в терминах функций распределения, а также для случаев дискретных и непрерывных распределений.

Предложение 4 . Пусть мы имеем случайный вектор . Его компоненты независимы тогда и только тогда, когда

В случае дискретных распределений условие независимости эквивалентно условию

,

а в случае непрерывных – условию 

Доказательство. Рассмотрим множества

Для них из (3) следует (4). Обратно, из (4) легко получить (3) для параллелепипедов, а затем аппроксимировать произвольные 1ѕ с помощью сумм отрезков. Свойство (6) получается из (4) дифференцированием. Свойство(5) следует непосредственно из определения независимости.

Пример 1. Пусть мы имеем схему Бернулли с параметрами  и  . Пусть = 1, если в-м испытании был ’’успех”, и равно 0 в противном случае. Тогда случайные величины -независимы.

Кстати, число успехов  в этих  испытаниях представимо в виде

Пример 2. Пусть  имеет двумерное нормальное распределение. будут независимы тогда и только тогда, когда (задача!).

Нетрудно доказать следующий полезный результат (задача!).

Предложение 5 . Пусть случайные величины - независимы, а и  - борелевские функции. Тогда случайные величины и  также являются независимыми.

Пример 3. Пусть мы имеем схему Бернулли с  испытаниями. Тогда число успехов  в первых  испытаниях и число успехов  в последующих испытаниях - независимые случайные величины.