Условная вероятность. Независимость событий

Как отмечалось в начале нашего курса, мы подразумеваем, что эксперимент проводится при некотором фиксированном комплексе условий К. Если эти условия изменились, то изменяется и вероятность событий, относящихся к этому эксперименту. Такое изменение всегда можно понимать как появление некоторого события (кроме исходного комплекса условий К). Чтобы понять, как определить в этом случае новую (условную) вероятность, рассмотрим соответствующие частоты. Пусть эксперимент проведен N раз, событие В произошло N(B) раз, а события А и В вместе N(AB) раз. Тогда ’’условная” частота события А среди тех экспериментов, где произошло событие В, равна

Имея в виду, что вероятность наследует свойства частот, можно дать следующее

Определение 1. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие , называется число 

Иногда применяют и другое обозначение 

Пример 1 . Симметричную монету подбрасывают два раза. Известно, что выпал один герб (событие В). Найти вероятность события А, состоящего в том, что герб выпал при первом бросании.

Легко вычислить, что , а . Отсюда следует, что

Нетрудно проверить, что при фиксированном В условная вероятность обладает следующими свойствами:

  1. Р(А\В)0,
  2. Если - попарно несовместны, то 

Таким образом, условная вероятность обладает всеми основными свойствами вероятности.

Очень важную роль играет следующая теорема.

Теорема умножения. Пусть А и В - два события и  Тогда 

Ее доказательство следует из определения условной вероятности. Польза этой теоремы состоит в том, что иногда мы можем вычислить условную вероятность непосредственно и затем использовать это для вычисления 

Пример 2. В урне 5 шаров - 3 белых и 2 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Пусть событие  состоит в том, что первый шар белый, а событие - второй шар белый. Легко вычислить, что  После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 4 шара и среди них 2 белых. Тогда . По теореме умножения 

Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий.

Следствие 1. Пусть - случайные события, тогда 

Если появление события В не меняет вероятности события А, т. е., то такие события естественно назвать независимыми. В этом случае по теореме умножения мы получаем

. Последнее соотношение симметрично относительно А и В и имеет смысл при . Поэтому мы возьмем его в качестве определения.

Определение 2. События А и В называются независимыми, если 

Пример 3 . Подбрасывают две симметричных монеты. Событие А состоит в том, что на первой монете выпал герб, а событие В - на второй монете выпал герб.

Интуитивно ясно, что такие события должны быть независимыми. Действительно,,,

. Таким образом А и В - независимы в смысле определения . Менее очевидно, что независимы события А и С, где С означает, что выпал только один герб (доказать !).

Сложнее определяется независимость более двух событий.

Определение 3 . События  называем независимыми в совокупности, если для любого и любых событий из рассматриваемых справедливо  

Покажем на примерах, что попарной независимости и выполнения последнего равенства для перечня всех событий недостаточно для независимости в совокупности.

Пример 4. Правильный тетраэдр окрашен тремя цветами: одна грань - в синий цвет, вторая - в красный, третья - в зеленый, а на четвертой присутствуют все три цвета. Этот тетраэдр подбрасывают и отмечают, какой гранью он выпал.

Пусть  означает появление синего цвета, - красного, - зеленого. Тогда,,,

. Отсюда мы получаем, что. Аналогично для  других пар. Таким образом, мы имеем попарную независимость. Но

Задача 1. Придумать пример эксперимента и трех событий ,,, для которых , но которые не являются попарно независимыми.

Можно дать следующее более общее

Определение 4. Пусть - некоторые классы событий.

Они называются независимыми, если любые события  - независимы в совокупности.

Типичная ситуация описана в следующем примере.

Пример 5 . Симметричный игральный кубик подбрасывают два раза. обозначает набор событий, связанных с результатом первого бросания. определяется аналогично для результата второго бросания. Тогда  и  -независимы.

Во многих задачах является полезным следующий результат.

Предложение 1 . Если события А и В независимы, то независимы и любые два из следующих: .

Доказательство. Докажем независимость .

Независимость остальных пар событий предлагается доказать самостоятельно.

Во многих ситуациях мы встречаемся с такими экспериментами, которые можно разложить на два (или более) этапов. На первом этапе мы имеем несколько вариантов, а спрашивается что- либо о том, что произошло в конце - на втором этапе. В этом случае чрезвычайно полезен приводимый ниже результат. Начнем со следующего определения.

Определение 5. События  образуют полную группу событий (разбиение пространства), если

Теорема 1 . Пусть события образуют полную группу событий,  для всех  и  - произвольное событие. Тогда — формула полной вероятности.

Доказательство. Так как события образуют полную группу, то мы имеем

и

Отсюда получаем

, где мы использовали теорему умножения.

Пример 6 . На некоторой фабрике 30% продукции производится машиной А, 25% продукции - машиной В, а остальная продукция - машиной С. У машины А в брак идет 1% производимой ей продукции, у машины - 1,2% , а у машины С - 2%. Из всей произведенной продукции случайно выбрано одно изделие. Какова вероятность того, что оно бракованное?

Пусть обозначает событие, состоящее в том, что выбранная деталь изготовлена на машине А, - на машине В, - на машине С. Обозначим через D событие, состоящее в том, что выбранная деталь бракованная. События образуют полную группу событий. По условию задачи

5

По формуле полной вероятности получаем

В статистических приложениях обычно приходится решать обратную задачу. Мы имеем несколько вариантов  условий проведения эксперимента. Для каждого из этих вариантов на основе прошлой информации нам известна вероятность  его реализации в данном испытании. В результате проведения эксперимента мы получили некоторую информацию (произошло событие А). Теперь мы хотим оценить вероятность того, что реализовался вариант . Это можно сделать с помощью следующей теоремы.

Теорема 2 . Если образуют полную группу событий, А

Доказательство. По определению условной вероятности и теореме умножения формула Байеса.

- произвольное событие и , то

Для вычисления Р(А) используем формулу полной вероятности.

Вероятности называются априорными вероятностями гипотез , а-апостериорными вероятностями.

Пример 7 . В урне находятся три шара, которые могут быть либо черными, либо белыми, но конкретный состав урны не известен. С возвращением выбираем 5 шаров. Среди них оказалось 3 белых (событие А). Какой состав шаров наиболее вероятен?

Мы имеем три варианта состава урны:

- нет белых шаров,

- один белый шар,

- два белых шара,

- три белых шара.

Мы предполагаем, что априорные вероятности ,= 0,1,2,3. Выбор производится с возвращением. Используя результат примера 3.1, получаем

По формуле полной вероятности  Окончательно по формуле Байеса получаем

,

Таким образом, наиболее вероятно, что в урне было два белых шара.