Условная вероятность. Независимость событий

Как отмечалось в начале нашего курса, мы подразумеваем, что эксперимент проводится при некотором фиксированном комплексе условий К. Если эти условия изменились, то изменяется и вероятность событий, относящихся к этому эксперименту. Такое изменение всегда можно понимать как появление некоторого события (кроме исходного комплекса условий К). Чтобы понять, как определить в этом случае новую (условную) вероятность, рассмотрим соответствующие частоты. Пусть эксперимент проведен N раз, событие В произошло N(B) раз, а события А и В вместе N(AB) раз. Тогда ’’условная” частота события А среди тех экспериментов, где произошло событие В, равнаСтатья 352 - Картинка 1

Имея в виду, что вероятность наследует свойства частот, можно дать следующее

Определение 1. Условной вероятностью события А при условии, что произошло событие Статья 352 - Картинка 2, называется число Статья 352 - Картинка 3

Иногда применяют и другое обозначение Статья 352 - Картинка 4

Пример 1 . Симметричную монету подбрасывают два раза. Известно, что выпал один герб (событие В). Найти вероятность события А, состоящего в том, что герб выпал при первом бросании.

Легко вычислить, что Статья 352 - Картинка 5, а Статья 352 - Картинка 6. Отсюда следует, чтоСтатья 352 - Картинка 7

Нетрудно проверить, что при фиксированном В условная вероятность обладает следующими свойствами:

  1. Р(А\В)Статья 352 - Картинка 80,
  2. Статья 352 - Картинка 9
  3. Если Статья 352 - Картинка 10- попарно несовместны, то Статья 352 - Картинка 11

Таким образом, условная вероятность обладает всеми основными свойствами вероятности.

Очень важную роль играет следующая теорема.

Теорема умножения. Пусть А и В - два события и Статья 352 - Картинка 12 Тогда Статья 352 - Картинка 13

Ее доказательство следует из определения условной вероятности. Польза этой теоремы состоит в том, что иногда мы можем вычислить условную вероятность непосредственно и затем использовать это для вычисления Статья 352 - Картинка 14

Пример 2. В урне 5 шаров - 3 белых и 2 черных. Без возвращения выбираем два шара. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Пусть событие Статья 352 - Картинка 15 состоит в том, что первый шар белый, а событие Статья 352 - Картинка 16- второй шар белый. Легко вычислить, что Статья 352 - Картинка 17 После того, как мы вынули один шар и знаем, что он белый, мы имеем 4 шара и среди них 2 белых. Тогда Статья 352 - Картинка 18. По теореме умножения Статья 352 - Картинка 19

Теорему умножения легко распространить на любое конечное число событий.

Следствие 1. Пусть Статья 352 - Картинка 20- случайные события, тогда Статья 352 - Картинка 21

Если появление события В не меняет вероятности события А, т. е.Статья 352 - Картинка 22, то такие события естественно назвать независимыми. В этом случае по теореме умножения мы получаем

Статья 352 - Картинка 23. Последнее соотношение симметрично относительно А и В и имеет смысл при Статья 352 - Картинка 24. Поэтому мы возьмем его в качестве определения.

Определение 2. События А и В называются независимыми, если Статья 352 - Картинка 25

Пример 3 . Подбрасывают две симметричных монеты. Событие А состоит в том, что на первой монете выпал герб, а событие В - на второй монете выпал герб.

Интуитивно ясно, что такие события должны быть независимыми. Действительно,Статья 352 - Картинка 26,Статья 352 - Картинка 27,Статья 352 - Картинка 28

Статья 352 - Картинка 29. Таким образом А и В - независимы в смысле определения . Менее очевидно, что независимы события А и С, где С означает, что выпал только один герб (доказать !).

Сложнее определяется независимость более двух событий.

Определение 3 . События Статья 352 - Картинка 30 называем независимыми в совокупности, если для любого Статья 352 - Картинка 31и любых событий Статья 352 - Картинка 32из рассматриваемых справедливо Статья 352 - Картинка 33

Покажем на примерах, что попарной независимости и выполнения последнего равенства для перечня всех событий недостаточно для независимости в совокупности.

Пример 4. Правильный тетраэдр окрашен тремя цветами: одна грань - в синий цвет, вторая - в красный, третья - в зеленый, а на четвертой присутствуют все три цвета. Этот тетраэдр подбрасывают и отмечают, какой гранью он выпал.

Пусть Статья 352 - Картинка 34 означает появление синего цвета, Статья 352 - Картинка 35- красного, Статья 352 - Картинка 36- зеленого. ТогдаСтатья 352 - Картинка 37,Статья 352 - Картинка 38,Статья 352 - Картинка 39,Статья 352 - Картинка 40

Статья 352 - Картинка 41. Отсюда мы получаем, чтоСтатья 352 - Картинка 42. Аналогично для других пар. Таким образом, мы имеем попарную независимость. Но

Статья 352 - Картинка 43

Задача 1. Придумать пример эксперимента и трех событий Статья 352 - Картинка 44,Статья 352 - Картинка 45,Статья 352 - Картинка 46, для которых Статья 352 - Картинка 47, но которые не являются попарно независимыми.

Можно дать следующее более общее

Определение 4. Пусть Статья 352 - Картинка 48- некоторые классы событий.

Они называются независимыми, если любые события Статья 352 - Картинка 49 Статья 352 - Картинка 50- независимы в совокупности.

Типичная ситуация описана в следующем примере.

Пример 5 . Симметричный игральный кубик подбрасывают два раза. Статья 352 - Картинка 51обозначает набор событий, связанных с результатом первого бросания. Статья 352 - Картинка 52определяется аналогично для результата второго бросания. Тогда Статья 352 - Картинка 53 и Статья 352 - Картинка 54 -независимы.

Во многих задачах является полезным следующий результат.

Предложение 1 . Если события А и В независимы, то независимы и любые два из следующих: Статья 352 - Картинка 55.

Доказательство. Докажем независимость Статья 352 - Картинка 56.

Статья 352 - Картинка 57

Независимость остальных пар событий предлагается доказать самостоятельно.

Во многих ситуациях мы встречаемся с такими экспериментами, которые можно разложить на два (или более) этапов. На первом этапе мы имеем несколько вариантов, а спрашивается что- либо о том, что произошло в конце - на втором этапе. В этом случае чрезвычайно полезен приводимый ниже результат. Начнем со следующего определения.

Определение 5. События Статья 352 - Картинка 58 образуют полную группу событий (разбиение пространстваСтатья 352 - Картинка 59), если

  1. Статья 352 - Картинка 60
  2. Статья 352 - Картинка 61

Теорема 1 . Пусть события Статья 352 - Картинка 62образуют полную группу событий, Статья 352 - Картинка 63 для всех Статья 352 - Картинка 64 и Статья 352 - Картинка 65 - произвольное событие. Тогда Статья 352 - Картинка 66— формула полной вероятности.

Доказательство. Так как события Статья 352 - Картинка 67образуют полную группу, то мы имеем

Статья 352 - Картинка 68

и

Статья 352 - Картинка 69

Отсюда получаем

Статья 352 - Картинка 70, где мы использовали теорему умножения.

Пример 6 . На некоторой фабрике 30% продукции производится машиной А, 25% продукции - машиной В, а остальная продукция - машиной С. У машины А в брак идет 1% производимой ей продукции, у машины - 1,2% , а у машины С - 2%. Из всей произведенной продукции случайно выбрано одно изделие. Какова вероятность того, что оно бракованное?

Пусть Статья 352 - Картинка 71обозначает событие, состоящее в том, что выбранная деталь изготовлена на машине А, Статья 352 - Картинка 72- на машине В, Статья 352 - Картинка 73- на машине С. Обозначим через D событие, состоящее в том, что выбранная деталь бракованная. События Статья 352 - Картинка 74образуют полную группу событий. По условию задачи

Статья 352 - Картинка 755

Статья 352 - Картинка 76

По формуле полной вероятности получаем

Статья 352 - Картинка 77

В статистических приложениях обычно приходится решать обратную задачу. Мы имеем несколько вариантов Статья 352 - Картинка 78 условий проведения эксперимента. Для каждого из этих вариантов на основе прошлой информации нам известна вероятность Статья 352 - Картинка 79 его реализации в данном испытании. В результате проведения эксперимента мы получили некоторую информацию (произошло событие А). Теперь мы хотим оценить вероятность того, что реализовался вариант Статья 352 - Картинка 80. Это можно сделать с помощью следующей теоремы.

Теорема 2 . Если Статья 352 - Картинка 81образуют полную группу событий, А

Доказательство. По определению условной вероятности и теореме умножения формула Байеса.

- произвольное событие и Статья 352 - Картинка 82, то

Статья 352 - Картинка 83

Статья 352 - Картинка 84

Для вычисления Р(А) используем формулу полной вероятности.

Вероятности Статья 352 - Картинка 85называются априорными вероятностями гипотез Статья 352 - Картинка 86, аСтатья 352 - Картинка 87-апостериорными вероятностями.

Пример 7 . В урне находятся три шара, которые могут быть либо черными, либо белыми, но конкретный состав урны не известен. С возвращением выбираем 5 шаров. Среди них оказалось 3 белых (событие А). Какой состав шаров наиболее вероятен?

Мы имеем три варианта состава урны:

Статья 352 - Картинка 88- нет белых шаров,

Статья 352 - Картинка 89- один белый шар,

Статья 352 - Картинка 90- два белых шара,

Статья 352 - Картинка 91- три белых шара.

Мы предполагаем, что априорные вероятности Статья 352 - Картинка 92,Статья 352 - Картинка 93= 0,1,2,3. Выбор производится с возвращением. Используя результат примера 3.1, получаем

Статья 352 - Картинка 94

По формуле полной вероятности Статья 352 - Картинка 95 Окончательно по формуле Байеса получаем

Статья 352 - Картинка 96,

Статья 352 - Картинка 97

Таким образом, наиболее вероятно, что в урне было два белых шара.