Дифракционная природа оптического изображения

Известно, что для получения изображений предметов пользуются линзами. Любая линза перехватывает не все лучи, посылаемые самосветящимся (или отраженные несамосветящимся) предметом, а лишь определенную часть этих лучей. Поэтому линзу можно рассматривать как отверстие в непрозрачном экране (ведь лучи, не попадающие в линзу, в создании изображения не участвуют), но тогда должна возникать, более или менее заметная дифракция.

Следовательно, всякое изображение есть некоторая дифракционная картина, и пренебрегать этим весьма существенным обстоятельством, как это делается в геометрической оптике (гл. 5), можно далеко не всегда.

Рассмотрим простой случай получения изображения узкой длинной щели, освещаемой слева плоской монохроматической волной, падающей на щель под углом, равным нулю; ширину щели обозначим d (рис. 4.14).

Из школьного курса известно, что для получения на экране Э действительного изображения нужно расположить линзу на расстоянии а (превышающем главное фокусное расстояние линзы F) от предмета. Тогда и изображение получится на расстоянии b, превышающемF. Для построения изображения методами геометрической оптики выберем два луча, идущие из точки А, расположенной у края щели: один из них проходит через передний главный фокус линзы F₀ и после преломления идет параллельно главной оптической оси линзыОО₁ другой, идущий параллельно главной оптической оси, после преломления пройдет через задний главный фокус F₀ и пересечется с первым лучом в точке А₁, являющейся действительным изображением точки А. Затем построим изображение точки В и всех остальных точек, поверхности щели.

Рис. 4.14

Учтем теперь явление дифракции. Согласно принципу Гюйгенса — Френеля, из каждой точки щели можно провести параллельные лучи в направлении первоначальных лучей, т. е. параллельно оптической оси. Эти лучи, имея на поверхности щели одинаковую фазу, пересекутся в главном фокусе линзы и дадут там максимум освещенности; дальше они пойдут к экрану Э расходящимся пучком.

Параллельные лучи, образующие с осью линзы угол а, пересекутся в фокальной плоскости в побочном фокусе F₁ причем крайние лучи пучка будут иметь разность хода:

Для пучков, удовлетворяющих условию:

освещенность в побочных фокусах обратится в нуль, так как поверхность щели разобьется на четное число равновеликих зон Френеля (см. § 4.3). Между минимумами расположатся максимумы, направление на них приблизительно описывается условием:

Следовательно, если щель параллельна оси у некоторой системы координат, а ось линзы параллельна оси z, то в фокальной плоскости линзы получится система «первичных Дифракционных изображений» щели, распределенных по оси я. При этом основная энергия световой волны распределена между ближними максимумами, а более далекие играют второстепенную роль. Если линза перехватывает лучи, дающие достаточное число максимумов, то изображение получается хорошо освещенным и неискаженным.

Но если щель очень узка, то углы дифракции α_min и α_mах велики и соответствующие пучки могут проходить мимо линзы. Тогда изображение исказится в той или иной степени. Если же линза не будет перехватывать даже лучей, дающих первый минимум, то пола зрения на экране будет освещено более или менее равномерно и никакого изображения не получится.

Поэтому предельный угол α_пр наклона лучей, перехватываемых линзой, должен удовлетворять условию:

(4.15)

иначе никакого изображения получить не удастся. Так как синус не может стать больше единицы, то условие (4.15) удовлетворяется, если d>λ, т. е. по нашей грубой оценке линза принципиально не может отобразить предмет, соизмеримый с длиной волны. Более строгое рассмотрение вопроса дает такой же (по порядку величины) результат.

Допустим теперь, что линза захватывает достаточное число пучков, дающих максимумы, и дает хорошее изображение предмета. Расположим в ее задней фокальной плоскости вспомогательный экран — «маску»,— пропускающий лишь часть световых пучков, тогда изображение может исказиться. Так, если при помощи линзы получить удовлетворительное изображение проволочной сетки с мелкими ячейками (рис. 4.15, а), а затем поместить в фокальной плоскости «маску» — непрозрачный экран с узкой щелью (рис. 5.15, б),задерживающий все максимумы, кроме нулевого, то при Щели, расположенной горизонтально, на экране появится система вертикальных чередующихся светлых и темных полос (рис. 4.15, в). Если щель расположить вертикально, то полосы станут горизонтальными (рис. 4.15, г). Наконец, если расположить щель под углом 45° к вертикали, то появятся наклонные полосы, снова перпендикулярные щели (рис. 4.15, д).

Этот классический опыт, впервые произведенный немецким физиком Аббе, убедительно доказывает дифракционную природу. изображения и одновременно показывает, что в определенных условиях изображение может быть искажено до неузнаваемости.

Рис. 4.15

Так как дифракционная картина в фокальной плоскости линзы определяет вид и качество действительного изображения на экране, то оказывается возможным, применяя электронно-вычислительную машину, проанализировать дифракционное изображение и судить об особенностях действительного изображения, не получая его в реальном опыте.

Неравенство (4.15), определяющее разрешающую способность линзы (см. § 5.12) и пригодное также для более сложных оптических приборов (в частности, для микроскопа), позволяет указать пути повышения разрешающей способности, т. е. уменьшения d: нужно работать с возможно более короткими волнами. Этим и объясняется интенсивная разработка ультрафиолетовых и электронных микроскопов (см. § 12.3).

В заключение отметим, что изученные случаи решетки и щели в непрозрачном экране можно описать, введя понятие прозрачности экрана П(х, у). В нашем случае П=1 на поверхности щелей и П=0 на остальной части экрана. При этом получилось большое число дифракционных максимумов. Его можно уменьшить до трех, если прозрачность экрана будет меняться по гармоническому закону:

(4.16)

где d — период решетки.

Действительно, пусть на такой экран падает под углом, равным нулю, плоская волна

распространяющаяся вдоль оси z. Экран расположим в плоскости хОу. Электрическое поле волны, покидающей экран, будет описываться выражением (z=0):

(4.17)

Поле за экраном можно представить как совокупность плоских волн, распространяющихся перпендикулярно оси у:

(4.18)

где Ɵ_П — углы между осью г и нормалью к волновым фронтам. При этом для плоскости экрана (z=0) выражения (4.17) и (4.18) должны совпадать. Следовательно, должно быть:

(4.19)

Легко убедиться (вспоминая свойства косинуса суммы или разности двух углов), что условие (4.19) выполняется, если Е_n и 0_n таковы:

(4.20)

Рис. 4.16

остальные E_i= 0.

Эта особенность экрана с гармонически меняющейся прозрачностью используется в голографии (см. §4.7).

Сложное распределение амплитуды поля на выходе экрана часто называют «пространственной амплитудной модуляцией» по фронту волны. Ей можно сопоставить «временную модуляцию» радиовещательного сигнала. Так, рассматривавшийся в «Электричестве и магнетизме» (см. § 11.3) сигнал

может быть представлен как сумма трех гармонических сигналов:

что в известной мере подобно разложению (4.19). Здесь ω — несущая частота, а частоты ω±Ώ называются боковыми.

Поэтому составляющие разложения (4.19) часто называют несущими и боковыми «пространственными^-частотами». Если по той или иной причине часть их не участвует в образовании действительного изображения, то оно, как было показано выше, сильно искажается. Совершенно так же искажается форма радиосигнала, если задерживаются некоторые из его гармонических составляющих. На рисунке 4.16, а показаны исходный сигнал, описываемый уравнением:

и его спектрограмма, полученная при помощи анализатора спектра (он играет роль линзы). На рисунке 4.16, б, в показана искаженная форма того же сигнала при задержке соответствующим электрическим фильтром части его составляющих (на этих рисунках даны и соответствующие спектрограммы). Задержка временных составляющих подобна исключению «пространственных гармоник» при помощи подходящей «маски».