Теория дифракции на одном отверстии понадобится нам при рассмотрении разрешающей способности оптических приборов (§ 4.6). Сейчас же мы изучим дифракцию на так называемых «правильных» структурах, т. е. на периодически расположенных одинаковых отверстиях.
Рис 4.10
Начнем с одномерной структуры — системы параллельных полос шириной h, разделенных непрозрачными полосами шириной h1. Такие структуры, называемые дифракционными решетками (одномерными), имеют большое практическое применение. Они изготовляются путем нанесения при помощи делительной машины непрозрачных штрихов на прозрачной пластине (либо шероховатых, рассеивающих свет штрихов на полированной металлической пластине) и применяются соответственно в проходящем или отраженном свете; принципиальной разницы между обоими случаями нет. Хорошие современные решетки имеют до 2000 штрихов на 1 мм длины при общей длине, достигающей 120 мм. Таким образом, полное число штрихов решетки очень велико — до 250 000.
Величина d=h+h1 называется постоянной решетки, обратная ей величина n=1/d определяет число штрихов на единицу длины. При длине L полное число штрихов
N=nL.
Допустим, что решетка освещается когерентным светом — пусть плоская волна падает на решетку под нулевым углом (рис. 4.10). Каждая щель даст дифракционную картину, описываемую уже известным нам выражением (4.7). Но многочисленные световые пучки, посылаемые отдельными щелями, будут, кроме того, интерферировать между собой, в результате чего произойдет существенное перераспределение света на экране.
Найдем прежде всего направления, по которым освещенность резко возрастает. Так как разность хода между «соответственными» (идущими от симметричных точек щелей А, A1) лучами для двух соседних щелей определяется соотношением:
то совпадение по фазе (точнее, отличие на 2πn, где n — целое число) всех лучей произойдет в направлениях, удовлетворяющих условию:
(4.9)
Это направление на так называемые главные максимумы. Во всех иных направлениях условия суммирования ухудшаются. Можно показать, что угловое распределение интенсивности света описывается уравнением:
(4.10)
где функция распределения для каждой щели множится на функцию распределения, соответствующую интерференции пучков от всех щелей.
Условие (4.9) автоматически получается из (4.10). Но, кроме того, теперь видно, что между двумя соседними главными максимумами располагается (N—1) минимумов, получающихся при обращении в нуль числителя, т. е. при
Разумеется, между этими минимумами получаются «побочные» максимумы, где интенсивность гораздо меньше, чем в главных максимумах. При более или менее хороших решетках они практически незаметны.
Таким образом, увеличение числа щелей на единицу длины увеличивает расстояние между соседними максимумами (для данной волны λ), а также между максимумами для двух близких длин волн (λ и λ+Δλ).
Если для получения спектральной картины от решетки применяется линза с главным фокусным расстоянием F, то линейное расстояние между центральным максимумом (О) и главным (М1) равно (см. рис. 4.10):
(4.11)
При небольшом изменении длины волны dλ максимум смещается на величину:
Отношение
(4.12)
называется дисперсионной способностью решетки. Как видно, эта способность растет при увеличении числа штрихов" на единицу длины.
Рис 4.11
Учтем теперь роль общего числа штрихов. Если интенсивность света в нулевом максимуме (ϕ=0) при одной щели равна Iт, то при N щелях, как видно из формулы (4.10), она делается равной
т. е. растет как квадрат числа щелей. Но полная энергия, пропускаемая решеткой в единицу времени, пропорциональна числу щелей N. Более резкое возрастание интенсивности в нулевом и остальных главных максимумах объясняется перераспределением света — максимумы делаются более узкими (рис. 4.11, где по оси ординат отложена интенсивность, деленная на квадрат числа щелей). Поэтому увеличение общего числа щелей не только резко увеличивает интенсивность, но и дает возможность различить максимумы для близких волн λ1 и λ2. Действительно, полагая, что наблюдения ведутся при небольших углах, так что можно в (4.9) синус заменить углом, напишем условие для главного максимума волны λ1:
Условие для ближайшего минимума той же волны есть
Если максимум для второй волны виден под углом, не меньшим ϕ2, то он будет замечен наблюдателем. Пусть направление на максимум света для второй волны таково:
Принимая λ2=λ1+Δλ, получаем:
Откуда находим выражение для разрешающей способности решетки:
(4.13)
Она определяется общим числом штрихов N, умноженным на порядок дифракционного спектра. У наилучших решеток разрешающая способность достигает значения 104, т. е. решетка позволяет в видимом свете разделить две волны, длины которых разнятся на 10-11 м.
Рис 4.12
Если решетка используется в отраженном свете, то можно, подобрав соответствующий профиль отражающей поверхности, улучшить концентрацию света в главных максимумах. Кроме того, при некоторых соотношениях между h1 и h2 отдельные максимумы выпадают, за счет чего концентрация света в главных максимумах еще улучшается. Так, если h1=h2, то направление на дифракционный минимум каждой щели, определяемое соотношением:
совпадает с направлением на главный максимум решетки:
Как видно из (4.11), смещение максимума (относительно нулевого) пропорционально длине волны; это весьма благоприятное для спектральных измерений соотношение делает решетку очень ценным спектральным прибором. Спектр решетки называют «нормальным» в отличие от призматического спектра, где отсутствует пропорциональность между отклонением луча и соответствующей длиной волны.
Если волна падает на решетку наклонно (под углом β), то условие получения главных максимумов таково (рис. 4.12):
откуда
Таким образом, дисперсионная способность при этом возрастает, что важно при работе с очень короткими волнами; например, именно таким, способом удалось получить дифракцию рентгеновских волн (λ<100 Ά) на обычной дифракционной решетке.
Напротив, при более длинных волнах чрезмерное уменьшение постоянной решетки может привести к нежелательным последствиям. Так как направление на главный максимум есть
то даже для работы в первом максимуме нужно, чтобы было
λ<d
Поэтому решетка, имеющая n=103 мм-1, негодна для исследования инфракрасных волн, длина которых превышает 1 мкм.
Но слишком широкие щели также не позволяют наблюдать дифракцию. Из условия (4.9) следует, что при d>>λ дифракционная картина настолько сужается, что становится неразличимой, тем более что основная часть ее располагается в изображении щели (поэтому, например, не видна дифракция от окна).
Своеобразный тип дифракции создается при пропускании света через сосуд, где в жидкости созданы стоячие ультразвуковые волны (оси светового и ультразвукового пучка взаимно перпендикулярны). Так как в звуковой волне возникают сжатия и разрежения, вызывающие изменения показателя преломления жидкости, то стоячая волна представляет периодическую структуру, подобную дифракционной решетке. По положению максимумов света в дифракционной картине можно вычислить длину ультразвуковой волны, а при известной частоте ее найти скорость распространения ультразвука в жидкости.
Если пропустить свет через две перекрещенные решетки, представляющие двумерную периодическую структуру, то придется считаться с образованием дифракционной картины в двух взаимно перпендикулярных направлениях. При этом главные максимумы получаются при одновременном соблюдении двух условий:
где индексы 1 и 2 отвечают двум взаимно перпендикулярным направлениям, параллельным штрихам решеток. Иначе говоря, каждый дифракционный спектр одной решетки испытывает дифракцию на другой. В результате получается центральное пятно (здесь следует источник света сделать небольшим и круглым), интенсивные максимумы в двух взаимно перпендикулярных направлениях и более слабые максимумы еще в некоторых основных направлениях, удовлетворяющих условиям дифракции. Если слегка поворачивать одну из решеток в ее плоскости, то поворачивается и дифракционная картина.
Во всех рассматриваемых ранее случаях мы считали падающий свет когерентным, рели это условие выполнено лишь частично (источник света не точечный), то видимость дифракционной картины существенно ухудшается; однако первые главные максимумы обычно заметны и в этом случае.