Элементы квантовой механики

В этой и предыдущих главах мы рассматривали явления, характерные для микромира; классическая механика не могла правильно их описать.

Сейчас мы кратко остановимся на существе квантовой (волновой) механики, учитывающей особенности микрочастиц. Напомним, что микрочастице присуща волна де Бройля, длина которой равна:

где h — постоянная Планка, р — импульс, W_k — кинетическая энергия, m —, масса частицы; скорость частицы v<<c.

Классическая механика позволяет определить положение, импульс и энергию макроскопического тела, а также изменение этих величин под действием внешних сил; при этом в принципе расчеты могут быть сколь угодно точными. На практике точность ограничивается необходимостью задать при интегрировании уравнения движения (второго закона Ньютона) начальные условия, определяемые опытным путем.

Квантовая механика, учитывающая соотношение неопределенностей, ставит задачу иначе: найти вероятность состояния частицы (например, ее координату, импульс и энергию) внутри некоторого элементарного объема или в течение элементарного промежутка времени.

Классическому дифференциальному уравнению движения макротела квантовая механика сопоставляет линейное дифференциальное уравнение второго порядка в частных производных (переменными являются координаты и время), найденное Э. Шредингером (1887—1961) в 1926 г. и названное его именем.

В общем случае это Линейное уравнение имеет постоянные действительные и мнимые коэффициенты. Поэтому решение его, вообще говоря, комплексно; оно определяет некоторую комплексную функцию координат и времени, называемую волновой или ψ-функцией.ψ-Функция описывает поведение волны де Бройля, связанной с рассматриваемой частицей. Знание ψ-функции позволяет оценить вероятности координаты, скорости, импульса, энергии микрочастицы и изменение ее состояния во времени с неизбежной неточностью, обусловленной соотношением неопределенностей Гейзенберга.

При этом физический смысл имеет не сама ψ -функция, а ее произведение на сопряженную ей комплексную функцию ψ *, т. е. квадрат модуля ψ -функции:

ψ ψ*=| ψ |²

При этом, например, произведение

| ψ|²dV,

где dV — элемент объема, определяет вероятность нахождения частицы в элементе объема dV. Однако задача такого общего характера требует сложных вычислений. Мы рассмотрим более простые, но важные для понимания существа вопроса случаи нахождения вероятности стационарного (независимого от времени) состояния микрочастицы, зависящего только от одной пространственной координаты х.

В этом случае уравнение Шредингера значительно упрощается; частные производные заменяются полными (так как имеется только одна переменная), и исчезает зависимость от времени; уравнение принимает такой вид;

(14.6)

здесь т, W_p и W — соответственно масса, потенциальная и полная энергия микрочастицы, h — постоянная Планка.

При этом на пси-функцию наложены следующие ограничения:

1) релятивистское движение (со скоростью, близкой к скорости света) не рассматривается, так что масса частицы постоянна;

2) пси-фунКция непрерывна, однозначна и имеет непрерывную производную;

3) интеграл имеет конечное значение.

Смысл последнего ограничения таков: этот интеграл пропорционален вероятности нахождения частицы где-нибудь на оси абсцисс. Так как эта вероятность равна единице (частица достоверно находится на этой оси), то пропорциональный ей интеграл должен иметь конечное значение. Зная пси-функцию, можно также вычислить импульс и энергию частицы, т. е. описать ее состояние. Совпадение вычисленных величин с опытом всегда очень хорошее, чем и оправдывается введение несколько абстрактной пси-функции.

Конечно, опыт должен проводиться с очень большим числом частиц, так как вероятностные предсказания отвечают действительности только при большом числе испытаний. Так, при фотографировании дифракционной картины, создаваемой электронами при очень слабом их потоке (например, при силе тока I=10^-9 А), требуется довольно длительная экспозиция (t≈15 мин); при этом в испытании участвует число электронов, равное:

т. е. очень большое число микрочастиц. Именно поэтому картина электронной дифракции прекрасно отвечает предсказаниям квантовой механики.

Так как уравнение Шредингера линейно, то его решения подчиняются принципу суперпозиции, что существенно при исследовании сложных микросистем.

В заключение отметим, что уравнение Шредингера применимо и к макротелам. Но так как в этом случае волновые свойства вещества проявляются чрезвычайно слабо, то решения уравнения Шредингера не дают ничего нового по сравнению с классическими решениями — в этом проявляется принцип соответствия, сформулированный Бором (см. § 13.3).

При решении уравнения (14.6), конечно, должны быть заданы граничные (а при общей постановке задачи и начальные) условия, характерные для данной задачи.

Рассмотрим теперь несколько примеров нахождения ψ-функции и реальных характеристик изучаемых стационарных состояний микрочастицы.

1. Свободная частица. У свободной частицы потенциальная энергия отсутствует, скорость постоянна. При движении ее по оси абсцисс уравнение (14.6) принимает вид:

(14.7)

Полная энергия частицы — ее кинетическая энергия — постоянна во времени. Поэтому уравнение (14.7) — хорошо знакомое колебательное уравнение. Его частное решение

(14.8)

представляет пространственное колебательное состояние, распределенное вдоль оси абсцисс, на которое никаких пространственных ограничений (граничных условий) не накладывается.

При этом волновое число определяется из условия:

(14.9)

Оно может быть любым, так же как и импульс частицы. Уравнение (14.8) дает в нашем случае:

(14.10)

Это означает, что имеется одинаковая вероятность встретить частицу в любой точке оси абсцисс.

Рис 14.4

Если бы мы рассматривали пространственную задачу, то решение (14.8) определяло бы плоскую волну де Бройля, распространяющуюся вдоль оси абсцисс, а уравнение (14.10) означало бы равную вероятность встретить свободную частицу в любой точке пространства.

На импульс и энергию свободной частицы в этом случае никаких ограничений также не накладывается (эти величины не квантуются): квантование характерно только для системы частиц.

Частица в прямоугольной потенциальной ям е. Вообразим цилиндрический конденсатор с обкладками 1 и 2 (рис. 14.4). Пусть обкладка 1 сделана из частой сетки, так что сквозь нее возможен проход в направлении оси x электрона, находящегося сначала в положении Э.Во внутреннем цилиндре никакого поля нет, так что уравнение Шредингера снова можно записать в виде (14.7). Но теперь должны быть учтены граничные условия. Возьмем частное решение уравнения Шредингера:

Если считать потенциал сетчатого электрода неопределенно большим, то возникают бесконечно большие силы, возвращающие электрон внутрь сетки, и \|) должно обращаться в нуль при

x<<0 и x≥

Поэтому граничные условия таковы:

что возможно, если

kH=nπ, n=1, 2, 3, … .

Но волновое число связано с импульсом частицы, поэтому теперь последний принимает только квантованные значения:

причем разность между соседними значениями импульса постоянна. Полная энергия по-прежнему совпадает с кинетической и также квантуется. Она пропорциональна n². Разность между допустимыми соседними значениями энергии увеличивается с увеличением номера nсостояния частицы.

Рис 14.4

Вспоминая связь между импульсом и длиной волны де Бройля λ, убеждаемся, что ширина ямы

так что на ширине ямы укладывается целое число полуволн де Бройля.

Проиллюстрируем применение полученных результатов:

а) Пусть Н=0,9 мм (макроскопическая область), т =10^-30 кг. Тогда

и наименьшая разность между допустимыми значениями энергии есть

Это столь малое значение, что на опыте оно неизмеримо. Итак, в макроскопической области квантовые свойства практически не проявляются (хотя в принципе существуют).

б) H=9 x 10^-12 м (атомные размеры), m=10^-30 кг. Теперь

Наименьшая разность возможных энергий есть

что вполне доступно измерению. Поэтому в таких условиях квантовые свойства системы проявляются отчетливо. Однако если бы вместо электрона рассматривался протон (при этом знаки потенциала на электродах необходимо изменить), то получилось бы (так как масса протона почти в 2000 раз больше массы электрона), что

и наименьшая разность энергий составила бы

что можно обнаружить лишь в очень точном эксперименте. Таким образом, чем массивнее частицы, тем меньше проявляется дискретность возможных энергий.

3. Потенциальная яма конечной глубины.

Пусть частица (рис. 14.5) находится в области, ограниченной практически прямоугольным потенциальным барьером конечной высоты W_p, причем полная энергия частицы меньше W_p, так что выражение W—W_p отрицательно.

Для области внутри ямы частное решение имеет прежний вид; мы его заменим общим решением:

для

Вне ямы (при х<<-Н и х>>Н) уравнение Шредингера принимает вид:

Его решение является выражение:

где B₁ и В₂—постоянные, а волновое число

Так как вероятность нахождения частицы на бесконечности не может быть бесконечно велика, то следует принять:

Требуя непрерывности функции и ее первой производной на обеих границах барьера (-Н=х и х=Н), получаем четыре уравнения для определения постоянных интегрирования: А₁ А₂, В₁, В₂. Опуская дальнейшие расчеты, приведем график величины |ψ|², определяющей вероятность нахождения частицы на отрезке х, x+dx (рис. 14.5). Из графика следует, что эта вероятность велика для участка оси абсцисс, находящегося внутри потенциальной ямы, но быстро падает до нуля за ее пределами. Она пропорциональна eхр (—2k|x|), что приW_p—W=0,1 эВ и ширине ямы 2 H=2 А дает для электрона

т. е. весьма заметную вероятность.

Дли протона соответственно получается:

Таким образом, и во втором случае имеется малая (но отличная от нуля) вероятность «просочиться» сквозь потенциальный барьер. Подчеркнем, что классическая физика, безусловно, запрещает прохождение частицы сквозь потенциальный барьер, если W<W_p; это еще раз показывает, что классические представления неприложимы в микромире.

4.Барьер ограничен стенками сложного вида (рис. 14.6).

В этом случае вероятность «просочиться сквозь барьер» (туннельный эффект) описывается выражением:

где x₁ и х₂ — координаты точек барьера на высоте W. Оно также дает конечную вероятность эффекта только в процессах атомного масштаба. В макромире вероятность просачивания практически равна нулю.

Рис. 14.6

Рис 14.7

С этих позиций объясняется «холодная эмиссия» электронов металлом при помещении его в электрическое поле, более слабое, чем поле, которое способно было бы преодолеть силы, удерживающие электроны в металле. Это поле снижает потенциальный барьер, существующий на границе металла, и увеличивает вероятность выхода электронов до практически наблюдаемых значений. С другим примером просачивания мы встретимся при рассмотрении радиоактивных явлений (гл. 16). Наконец, просачивание играет роль в некоторых полупроводниковых приборах (туннельные диоды и пр.).

5. Атом водорода.

Решение уравнения Шредингера для атома водорода приводит к сложным выражениям для ψ-функции. В процессе решения автоматически появляются квантовые числа. Энергия атома в стационарных состояниях определяется величиной:

где n— главное квантовое число (1, 2, 3, . . .), что соответствует уравнению (13.8).

Для нормального (невозбужденного) состояния (n=1, l=0, m_l=0) пси-функция обладает сферической симметрией:

(14.11)

где r — модуль радиус-вектора электрона, а постоянная р, равна радиусу первой боровской орбиты, найденному в (13.12):

Получаемые из уравнения Шредингера правила квантования момента импульса:

совпадающие с (13.7), можно записать в виде

(14.12)

где λ, — длина волны де Бройля. Таким образом, на длине стационарной орбиты укладывается целое число волн де Бройля.

В связи со сферической симметрией решения (14.11) в качестве элемента объема следует выбрать сферический слой:

Поэтому вероятность нахождения электрона на расстоянии г от ядра определится выражением

Вид этой функции изображен на рисунке 14.7, Ее максимум соответствует радиусу r=p₁. Следовательно, боровское нормальное состояние атома является наиболее вероятным.

Таким образом, квантование, введенное Бором вопреки законам классической физики, получается при квантовомеханическом рассмотрении вполне естественно, так как дискретность характерна для макрочастиц, образующих физическую систему. Наглядное представление об устойчивых боровских орбитах заменяется теперь представлением о расстояниях, отвечающих наиболее вероятным положениям электрона в атоме.

Решения уравнения Шредингера для более высоких энергетических уровней имеют более сложный вид; они также хорошо соответствуют экспериментальным данным. Кроме того, квантовая механика позволяет рассчитать интенсивность спектральных линий (она определяется вероятностью переходов между дозволенными энергетическими состояниями), а также поляризацию излучения. При учете релятивистских эффектов (спина электрона) квантовая механика объясняет и тонкую структуру спектральных линий.