Фазовая и групповая скорость света

Так как показатель преломления и, следовательно, скорость света зависят от частоты, а любой свет нестрого монохроматичен, то возникает вопрос, что же следует понимать под скоростью распространения светового сигнала, измеряемой на опыте.

Все приемники света реагируют на энергию, поэтому во всех опытах измеряется скорость переноса энергии световым сигналом; ее называют групповой скоростью и. Она отличается - от скорости распространения фазы (фазовой скорости) ν_ϕ, являющейся чисто расчетной величиной и определяемой действительной частью показателя преломления. Вдали от области дисперсии обе скорости практически совпадают.

Чтобы уточнить введенные понятия, рассмотрим две волны, имеющие равные амплитуды и относительно близкие частоты:

Складывая, получим:

(8.5)

Вообразим теперь наблюдателя, движущегося вместе с волной и наблюдающего ее в одной и той же фазе. Для этого наблюдателя выполняется условие:

и скорость его движения, равная фазовой скорости волны, есть

(8.6)

Если же другой наблюдатель будет двигаться вместе с максимумом амплитуды «группы волн» (т. е. максимумом энергии), то для него соблюдается условие:

и скорость движения (групповая) есть

(8.7)

Замечая, что между производной по волновому числу k и производной по длине волны (в среде) существует соотношение:

получаем связь между групповой и фазовой скоростью:

(8.8)

Таким образом, групповая скорость может совпадать с фазовой (при отсутствии дисперсии), она бывает меньше фазовой (при нормальной дисперсии) или больше нее (в области аномальной дисперсии). Однако можно показать, что в соответствии с теорией относительности групповая скорость никогда не превышает скорости света в вакууме:

и<с.

Рис 8.3

Заметим в заключение, что при сильной дисперсии понятия групповой и фазовой скорости недостаточны для правильного описания - распространения волны. Но мы не будем заниматься дальнейшими уточнениями. П. Эренфест предложил изящный способ нахождения групповой скорости. Зная ход показателя преломления n=f(λ) , можно построить кривую ν_ф= f(λ) (рис. 8.3). Проведя касательную к кривой в точке с координатой λ₁, определяем отрезок, отсекаемый касательной на оси ординат, равный значению групповой скорости вблизи волны λ₁: u₁=ν₁ — h₁ (см. уравнение 8.8).

Молекулы (или атомы) диэлектриков под влиянием поля электромагнитной волны

(8.9)

распространяющейся в диэлектрике со скоростью света, приходят в вынужденные колебания и сами становятся излучателями вторичных волн,-когерентных с основной волной (8.9), но сдвинутых по фазе. Складываясь с основной волной, эти волны дают новую волну, фаза которой также отличается от фазы основной волны,— это и можно истолковать как распространение суммарной волны с фазовой скоростью, отличной от с.

Если волна проходит в диэлектрике путь l со скоростью , где то ею затрачивается время

Если бы волна прошла тот же путь в вакууме со скоростью с, то затраченное время было бы равно t₂ =l/c. Поэтому запаздывание во времени равно:

Если период волны равен Т, то запаздывание по фазе составит:

(8.10)

Покажем, как в простейшем случае можно учесть влияние вторичных волн. Пусть плоская волна (8.9), распространяющаяся в сторону возрастающих х, встречает на пути плоский Слой диэлектрика, его грани имеют координаты (х=0 и Δх). Найдем напряженность поля в точке А с координатами (x= А, у=0, z=0), причем А>>λ. Это поле слагается из поля волны (8.9) и дополнительного поля, созданного диполями диэлектрика, т. е.

(8.11)

Для вычисления ΔE воспользуемся методом зон Френеля (§4.1). Поле в точке Л определяется действием половины первой зоны Френеля; она представляет собой круг с центром в начале координат, на который опирается конус лучей, выходящих из разных точек зоны и сходящихся в точке А. Длины этих лучей меняются от А до A+λ/2 . Очевидно, радиус зоны есть

Площадь зоны равна S = πρ². Объем цилиндра из диэлектрика, опирающегося на эту зону, равен ΔV = S Δх. При концентрации молекул N число молекул в указанном объеме составляет ΔN — N ΔV.

Под влиянием поля волны (8.9) молекулы приобретают дипольные моменты р. Напряженность поля излучения диполя в его экваториальной плоскости на расстоянии R равна:

(8.12)

Так как угловой размер зоны очень мал, то можно считать, что все диполи излучают в своей экваториальной плоскости. Расстояние R в знаменателе (8.12) можно принять равным А. В аргументах же можно взять среднее расстояние:

Тогда напряженность поля, созданного в точке А всеми диполями объема ΔV, будет равна:

(8.13)

Складывая ее с напряженностью поля основной волны, получаем:

(8.14)

где

А Е

Так как (из-за малости объема) , то можно принять:

Итак, запаздывание по фазе равняется:

Но, как известно (см. «Электричество и магнетизм», § 1.9),

Поэтому

(8.15)

Мы не учитывали взаимодействия диполей друг с другом, что допустимо лишь при малых концентрациях молекул, т. е. для газов. Но при этом n мало отличается от единицы, и можно принять

Поэтому из (8.15) получается окончательное выражение для фазового сдвига:

Это выражение отличается от точного выражения (8.10) лишь множителем π/2, близким к единице. Появление этого множителя объясняется упрощенными расчетами (нужно было интегрировать поля диполей, а мы взяли среднее значение и умножили на число диполей).

Таким образом, описанный выше механизм запаздывания привел вас к верной оценке фазового сдвига.