Плоские и сферические зеркала

При отражении лучей, выводящих из некоторой точки А, от плоского зеркала продолжения отраженных лучей сходятся за зеркалом в точке В, лежащей на прямой АВ, нормальной зеркалу, причем плоскость зеркала делит эту прямую на два равных отрезка (рис. 5.1). Глаз, находящийся перед зеркалом, способен воспринять эти лучи и образовать действительное изображение точки (за счет преломления лучей в оптической системе глаза). Но на фотографической пластине, помещенной перед зеркалом, никакого изображения, конечно, не получится. Поэтому изображение BD называют мнимым изображением. Оно оказывается прямым (т. е. расположено так же, как предмет) и равным ему по размеру. Однако оно отличается от предмета, так как правой стороне предмета отвечает левая сторона изображения. При несимметричном предмете изображение и предмет оказываются несовместимыми.

Рис 5.1

Рис 5.2

Если луч света попадает в двугранный прямой угол, образованный двумя плоскими зеркалами, то он отражается в направлении своего прихода (рис. 5.2). То же справедливо и для трехгранного угла. Такие «уголковые отражатели», в частности, были доставлены на поверхность Луны и при их помощи производились точные оптические измерения расстояния до нее.

Рис. 5.3

Рис 5.4

Сферическое вогнутое зеркало (небольшая часть сферы радиусом R), изображенное на рисунке 5.3, отразит луч SA, идущий по радиусу, в направлении того же радиуса. Луч SC, идущий под углом β к радиусу, отразится в направлении CD и пересечет первый луч в точкеF₁. Условимся считать все расстояния вправо от зеркала положительными и введем обозначения:

Применяя теорему площадей к треугольникам SCF₁, OCF₁ и SCO, находим:

Отсюда

(5.1)

Таким образом, положение точки F₁ зависит от угла падения β. Следовательно, в общем случае зеркало не обеспечит точечного изображения светящейся точки. Но если ограничиться пучками лучей, очень близкими к оси зеркала (прямой, проходящей через его центр и точечный источник), то выражение (5.1) примет вид:

(5.1)

свидетельствующий о создании точечного изображения. Этим приближением (осевые пучки) мы и будем пользоваться. Если светящаяся точка бесконечно удалена, так что от нее идет пучок лучей, параллельный оптической оси, то она отобразится в точке F, лежащей на расстоянии R/2 от зеркала (главное фокусное расстояние), и эта точка называется главным фокусом.

Выражение (5.2) можно переписать в виде

(5.3)

Это уравнение называют формулой зеркала. Из нее видно, что при приближении светящегося предмета АВ (рис. 5.4) из бесконечности к главному фокусу его изображение A₁B₂ перемещается от главного фокуса до бесконечно удаленных точек. Если же светящийся предмет CD располагается между главным фокусом и зеркалом, то расстояние до его изображения С₁D₁ делается отрицательным, т. е. изображение уходит за зеркало и образуется нереальными лучами, а их продолжениями — оно становится мнимым.

При этом действительные изображения оказываются перевернутыми, мнимые же —прямыми. -Отношение поперечных размеров #i изображения к поперечным размерам Н предмета называют увеличением:

(5.4)

Применяя такие же рассуждения к выпуклому сферическому зеркалу, убеждаемся, что его формула имеет тот же вид, но знак радиуса-вектора R отрицателен. Такое зеркало (рис. 5.5) дает только мнимые изображения. Естественно, что плоское зеркало может рассматриваться как предельный случай сферического при R→оо.

Так как условия отражения не зависят от длины волны, то сложный состав отражающегося света не вносит никаких осложнений. Поэтому широко распространены отражательные телескопы — рефлекторы.

В аналитической геометрии доказывается важное свойство параболы: совокупность лучей, идущих вдоль ее диаметров (т. е. параллельно оси параболы), отразившись от зеркальной дуги, совпадающей с параболой, пересекается в фокусе последней. Если вращать параболу вокруг ее оси, то образуется поверхность, называемая параболоидом вращения. Очевидно, он обладает таким же свойством: зеркальный параболоид соберет в фокусе широкий пучок параллельных лучей, распространяющихся в направлении его оси. Поэтому зеркала больших телескопов шлифуют по параболоиду. В силу принципа обратимости параболическое зеркало можно использовать для получения почти параллельного пучка света.

Рис. 5.5