Объяснив линейчатый спектр водорода, первоначальная теория Бора не смогла оценить интенсивность излучения тех или иных частот, дать характеристику поляризации излучения и описать более сложные спектры.
Попытки улучшить теорию, оставаясь на почве наглядных представлений, привели к дополнительным квантовым ограничениям устойчивых состояний атома. Так, допуская, что электрон может двигаться и по эллиптической орбите, для которой число n (главное квантовое число) определяет длину большой оси, А. Зоммерфельд предложил ввести дополнительное квантовое число, связывающее возможные величины малой и большой полуосей bn и аn. В современных обозначениях это азимутальное число l принимает значения:
L=0, 1, 2, …, (n-1),
причем
Часто значениям азимутального квантового числа приписывают буквенные символы:
l=0,1,2,3.
s,p,d,f
Весьма существенным свойством азимутального квантового числа является связь его с допустимыми моментами механического импульса электрона. Именно этот момент может принимать значения
При l=0 момент обращается в нуль, что Кажется непонятным с точки зрения наглядной модели: в отсутствие момента импульса движение прямолинейно, следовательно, электрон должен проходить через ядро. Это противоречие лишний раз свидетельствует о несовершенстве наглядной модели: невозможно задать траекторию электрона в атоме; следует говорить лишь об энергии и моменте импульса того или иного стационарного состояния.
Третье квантовое число тl возможные значения которого определяются условием:
определяет «пространственное квантование» электронных орбит. При воздействии на атом внешнего магнитного поля проекции момента механического импульса на направление индукции поля (ось z) кратны h/2π:
С моментом механического импульса связан и орбитальный магнитный момент электрона:
где 
— сила тока, эквивалентного электрону, обращающемуся по орбите. Но правило квантования момента механического импульса (13.7) дает:
При n=1 получаем наименьший магнитный момент, называемый магнетоном Бора μR:
Наконец, для понимания тонких деталей спектров приходится ввести еще одно квантовое число, называемое спиновым числом ms; оно принимает два значения:
Спиновое число определяет собственный (внутренний) момент импульса и связанный с ним собственный магнитный момент электрона, причем
Задание четырех квантовых чисел позволяет рассчитать энергии стационарных состояний и их разности, определяющие возможные частоты излучения атомов. Более глубокий анализ показывает, однако, что возможны не все переходы из одного энергетического состояния в другое, но существуют правила отбора разрешенных переходов. У водородоподобных атомов спектральные линии оказываются двойными (но различие в частотах мало и улавливается только очень точными экспериментами). У более сложных атомов спектры усложняются и линии могут состоять из нескольких очень близких по частотам составляющих.
Определение интенсивности спектральных линий и их поляризации при подобном подходе к расчету спектров совершенно не затрагивается, что, конечно, свидетельствует о неполноте решения поставленной задачи. Однако все эти наглядные представления пришлось отставить (они сохранились лишь как иллюстрации, а не как метод познания) и перейти к квантовомеханическим представлениям, так как согласно соотношению, неопределенностей (см. гл. 12) точное описание поведения электрона в атоме позволяет оценивать его энергию, импульс или момент импульса, но о положении и траектории электрона в этом случае нельзя высказать сколько-нибудь содержательных суждений. В настоящее время большинство фактов из атомной физики получает строгое описание на языке квантовой механики, а их предельные случаи (обычно наиболее простые) могут рассматриваться и классически.