Соотношение неопределенностей Гейзенберга

При изучении волновых свойств света, например отражения или преломления, принято считать, что волна частично отражается, частично преломляется. Но при переходе к фотонным представлениям уже нельзя считать, что данный фотон «частично отразился», так как в этом случае изменилась бы частота отраженного света. Приходится говорить о том, что определенная часть фотонов отражается или что фотон имеет определенную вероятность от разиться. В такой трактовке амплитуда отраженного луча (или лучше энергия, пропорциональная квадрату амплитуды) определяется, как уже говорилось выше, вероятностью отражения фотона в данном направлении. Такое же рассмотрение возможно и для частиц вещества: квадрат модуля амплитуды волны де Бройля определяет вероятность нахождения частицы в том или ином месте (сама амплитуда есть функция координат и времени).

Итак, всякой движущейся частице следует сопоставить волновой процесс. Уравнение, описывающее ее движение, будет характеризоваться условиями распространения соответствующей волны де Бройля. Однако при этом решается задача не о положении данной частицы, а лишь о вероятности ее нахождения в некотором месте. Если речь идет о потоке частиц, то там, где вероятность их появления больше, они и окажутся в относительно большем числе; так, при дифракции электронов на щели наибольшая часть их попадет в участки, где вероятность их нахождения наибольшая,— соответствующие направления определяются формулой, характеризующей направления на максимум света:

где β — угол дифракции, Н — ширина щели.

Таким образом выясняется, что мы можем точно описать не характер движения отдельной микрочастицы, а лишь вероятность попадания ее в ту или иную область пространства. Это значит, что мы дошли до предела, за которым наши классические представления о характеристиках движения теряют свою полную определенность, привычную для классической механики. Это принципиальное положение, открытое Гейзенбергом и называемое соотношением неопределенностей, можно пояснить следующим примером. Пусть пучок электронов (рис. 12.2) со скоростью _y падает на экран со щелью шириной Δх. При этом возникнет дифракционная картина —часть электронов пройдет через щель, не отклоняясь, часть же будет испытывать дифракцию и отклонится на некоторый угол; большая часть их окажется в пределах угла, определяющего направление на первый дифракционный минимум:

Эти электроны приобретут ранее отсутствовавшую у них составляющую импульса

модуль которой связан с шириной щели таким соотношением:

Отсюда получается:

или

Рис. 12.2

Более строгое рассмотрение задачи показывает, что полученное уравнение определяет наименьшее значение произведения Δp_xΔx, а более точное выражение имеет вид:

(12.4)

Здесь р_х и х — импульс и координата, определяемые в одном и том же измерении. Величина Δх определяет неопределенность положения точки, через которую пролетел электрон (мы ведь знаем только лишь, что он прошел через щель). При этом неопределенность Δхпринципиально неустранима. Компонента импульса направлена по оси х, так как мы не можем указать, какому из электронов присущ тот или иной импульс Δр_х.

Конечно, такие же соотношения, как (12.4), могут быть написаны для других координат:

Согласно (12.4) произведение неопределенностей не может быть ни в каком опыте сделано меньше постоянной Планка h. При этом весьма существенно, что, чем точнее определяется одна из величин, тем менее определенно будет значение другой величины. Так, при уменьшении Δx, т. е. ширины щели, дифракция проявляется более резко, следовательно, растет угол р, а с ним и неопределенность Δ р_х.

Для опытов макроскопического масштаба это неравенство, оставаясь в принципе справедливым, уже не имеет значения. Докажем это. Вообразим электронный пучок диаметром d_x= 10^-3 м, летящий в вакууме. Этот диаметр определяет неопределенность в задании координаты электрона. Пусть скорость электрона v_y = 10⁷ м/с. Какова неопределенность в оценке скорости v_x? Согласно (12.3) получаем:

т. е. ничтожно малую величину по сравнению со скоростью v_y, поэтому обычно величиной Δv_x и пренебрегают. Но при переходе к микромиру положение изменяется. Так, если мы знаем, что электрон находится внутри атома (неопределенность в задании координатыΔх=10^-10 м), то неопределенность в определении скорости составит:

Но это величина того же порядка, какой можно приписать скорости электрона, предполагая, что он движется в атоме по законам классической физики. Поэтому внутри атома" в известной степени теряется определенность понятий координаты и импульса; классическое описание движения оказывается невозможным.

Так как неопределенность в определении скорости тем меньше, чем больше масса, то для более тяжелых частиц неопределенность бывает меньше.

Уравнение (12.4) можно представить в виде:

Так как нам важен лишь порядок величины, то напишем:

(12.5)

Здесь ΔW — неопределенность энергии частицы в некотором состоянии, At — время ее пребывания в данном состоянии (в нашем _f примере речь шла о кинетической энергии, однако в действительности результат (12.5) верен и для полной энергии частицы). Таким образом, чем дольше частица пребывает в данном состоянии, тем более определенна ее энергия, и, наоборот, для состояний, существующих малый промежуток времени, энергия определяется с большой неопределенностью,

В случае фотона

W=hv,

и из (12.5) получается неопределенность частоты:

Из этого неравенства следует, что так как все реальные состояния ограничены во времени, то в природе не существует чисто монохроматических процессов (к этому вопросу мы вернемся позже при оценке ширины спектральных линий). Пока же мы отметим, что, например, чем продолжительнее импульс, заполненный высокочастотными колебаниями, тем он монохроматичнее.

В заключение добавим, что соотношение неопределенностей относится к некоторым парам физических величин, но не к любым: так, например, между неопределенностями координаты Δх и импульса Δр_у нет закономерных связей. Соотношение неопределенностей, как и представление о волнах де Бройля, является одним из основных положений квантовой механики.

Соотношение неопределенностей характеризует границы применимости классических представлений к микропроцессам. Но его ни в коем случае нельзя толковать как соотношение, определяющее границы нашего познания. Классические представления не являются единственно возможными, хотя они наиболее привычны для нас и необходимы при описании результатов опытов, производимых над микрочастицами при помощи макроскопических приборов.

Мы не можем указать, как именно будет развиваться в дальнейшем познание окружающего нас мира (в частности, микромира), но можно с полной определенностью утверждать, что границ этого развития не существует, что в природе есть еще очень много непознанного, но нет ничего непознаваемого. Этому учит диалектика развития науки, в частности физики.