Законы излучения черного тела. Формула Планка

В предыдущем параграфе мы выяснили, что излучение любого тела можно определить, найдя лучеиспускательную способность черного тела e(v, Т). Сначала излучение черного тела изучалось экспериментально.

Кривые, характеризующие распределение энергии в спектре черного тела при нескольких температурах, приведены на рисунке 11.1. Их характерные особенности таковы:

1. Мощность излучения (в интервале частот v, v+dv)—немонотонная функция частоты. Она имеет максимум вблизи частоты v_max. Этот максимум при повышении температуры смещается в сторону высоких частот, причем выполняется закон смещения, теоретически найденный Вином:

(11.2)

где р=5,88 x 10¹⁰ с-¹ x К^-1.

Площадь под кривой, определяющая интенсивность полного излучения, растет с температурой по закону, найденному теоретически Стефаном и Больцманом:

(11.3)

где о=5,67 x 10^-8 Вт x м^-2 x К^-4.

Однако аналитическое выражение всей кривой теоретически получить не удавалось, пока применялись методы классической физики, в частности, пока предполагалось, что элементарные излучатели, совокупность которых соответствует черному телу, могут иметь любую энергию и излучают непрерывно.

В 1900 г. Планк получил сначала эмпирическое (на основании опытных данных) выражение для функции e(v, Т), затем это выражение, превосходно совпадающее с опытом, было им выведено теоретически. Но при этом Планку пришлось сделать допущения, в корнепротиворечившее классическим представлениям. Именно ему пришлось допустить, что элементарные излучатели могут иметь лишь энергию, удовлетворяющую условию:

(11.4)

Рис. 11.1

где h=6,626 x 10^-34 Дж x с — постоянная Планка (уже встречавшаяся нам); n= 1, 2 … . Излучение также следовало считать не непрерывным, а дискретным, причем излучаемая порция энергии (квант света) равнялась:

E=hv. (11.5)

При этих предположениях Планк получил следующее выражение:

(11.6)

где k=1,38-10~²³ Дж x К^-1 — постоянная Больцмана, одна из важнейших постоянных молекулярной физики.

Покажем, что формула Планка удовлетворяет законам (11.2) и (11.3).

Введя переменную

и интегрируя по всем частотам, найдем интенсивность излучения:

( интеграл равен π⁴/15). Результат полностью согласуется с законом Стефана — Больцмана.

Рис 11.2

Найдем теперь максимум функции распределения. Беря производную и приравнивая ее нулю, находим:

Это уравнение имеет решения:

Первое и второе решения дают минимум (нуль), третье же — максимум излучения:

что соответствует закону смещения Вина.

Работа Планка явилась первой работой, где была введена идея дискретности энергии излучения. Мы уже пользовались этой идеей при объяснении ряда явлений поглощения света веществом.

Следует отметить, что вместо функции Ɛ(v, Т) часто вводят функцию Ɛ(λ, Т). Эти функции отличаются друг от друга.

Так как между частотой и длиной волны X существует соотношение

ν=c/λ

то спектральному интервалу частоты dv отвечает волновой интервал

|dλ|=λ²/c dν

Поэтому получается:

и ход функций Ɛ (λ, Т) и Ɛ (v, Т) неодинаков, хотя обе они имеют максимум. При этом закон смещения Вина принимает вид:

Кривые е(к, Т) для нескольких температур показаны на рисунке 11.2.