Определение случайной величины и ее распределения
Во многих практических задачах мы имеем дело с такими экспериментами, в которых мы изучаем некоторые числовые характеристики. Приведем несколько примеров из тех, что встречались нам ранее.
Примеры.
- Симметричную монету подбрасываем три раза и отмечаем число выпавших гербов.
- Симметричную кость подбрасываем два раза и отмечаем сумму выпавших очков.
- Пусть мы имеем схему Бернулли с n испытаниями и подсчитываем число успехов.
Во всех этих примерах мы видим, что в результате эксперимента мы получаем некоторое число, которое однозначно определяется элементарным исходом. Это приводит нас к определению случайной величины как функции на пространстве элементарных исходов. Элементарные соображения, связанные с решением практических задач, показывают, что эта функция не может быть произвольной, а должна удовлетворять определенным ограничениям. Действительно, как отмечалось выше, вероятностное пространство есть тройка . В качестве событий рассматриваются
только те подмножества пространства , которые принадлежат
-алгебре
. Только им мы можем приписать некоторую вероятность. С практической точки зрения хотелось бы, чтобы все множества вида
, где
- случайная величина, были событиями и им можно было приписать вероятность. Это приводит нас к следующему определению.
Определение 1 . Пусть - вероятностное пространство, а
- вещественная прямая с выделенной на ней борелевской
-алгеброй подмножеств. Случайной величиной называется функция
, которая обладает следующим свойством:
Такая функция называется измеримой. Таким образом, случайными величинами мы будем называть вещественные измеримые функции на пространстве
. Случайные величины мы будем обозначать в дальнейшем греческими буквами
и т. д.
Замечание. С практической точки зрения достаточно было бы потребовать выполнения свойства 1 для интервалов, т. е. когда . Но нетрудно доказать, что тогда оно справедливо и для любых борелевских множеств (задача!).
Определение 2 . Распределением случайной величины называется функция
, заданная на борелевской
-алгебре
по правили:
Распределение вероятностей случайной величины показывает, какова вероятность попадания случайной величины в то или иное множество. Необходимо отметить, что наша модель случайной величины как функции на пространстве элементарных исходов - это некоторая абстракция. В реальном эксперименте мы производим измерение и получаем конкретное число. По большому числу независимых измерений мы можем вычислить частоты, а значит, и вероятности попадания в различные множества и больше ничего. Таким образом, объективной характеристикой случайной величины является ее распределение, так как только его мы можем восстановить на основе результатов эксперимента.
Но распределение случайной величины - это довольно сложный объект, так как надо задать вероятность для всех борелевских множеств
, которых достаточно много. Для более компактного описания распределения вводится понятие функции распределения.
Определение 3 . Функция распределения случайной величины
определяется по правилу:
Используя свойства вероятностей событий, нетрудно доказать следующее
Предложение 1 . Если - функция распределения случайной величины
, то
, 0
1,
- Если
, то
,
- непрерывна слева,
Доказательство. Свойство 1 следует из свойств вероятностей событий. Определим событие . Если
, то
и
Пусть последовательность монотонно возрастает и
=
. Тогда последовательность событий
также монотонно возрастает и
. Используя свойства непрерывности вероятности, получаем
Аналогично доказывается свойство 4.
Нетрудно заметить, что
Тогда
Замечание. Зная функцию распределения случайной величины
, мы можем восстановить и все распределение. Наметим схему доказательства.
- Для интервалов вида
вероятность находится из свойства 5 функции распределения.
- Если борелевское множество
есть сумма конечного или счетного числа непересекающихся интервалов, то вероятность попадания в такое множество равна сумме вероятностей попадания в составляющие его интервалы.
- Произвольное борелевское множество можно аппроксимировать (в определенном смысле) множествами из пункта 2 так, что вероятность попадания в это борелевское множество является пределом вероятностей попадания в аппроксимирующие множества (пример - площадь круга).
Классификация распределений
В реальных задачах нам редко приходится работать с распределениями общего типа. Чаще всего мы имеем дело с так называемыми дискретными и абсолютно непрерывными распределениями и их смесями. Ниже мы приводим соответствующие определения и примеры.
Определение 4 . Случайная величина имеет дискретное распределение, если существует такое конечное или счетное множество
, что
. Числа
называются значениями случайной величины
, а
вероятностями этих значений.
Предложение 2 . Пусть случайная величина имеет дискретное распределение с множеством значений
и вероятностями этих значений
. Тогда
1.
2.
3.
В частности,
4.
Обратно
5.
6.
Задача 1 Доказать предложение 2.
Из свойства3 мы видим, что, зная множество значений и вероятности
всех возможных значений, можно восстановить и все распределение
. Поэтому пару
называют распределением дискретной случайной величины (что, строго говоря, не совсем верно) и записывают ее в виде таблицы распределения
Пример 1 . Симметричную монету подбрасывают три раза, случайная величина есть число выпавших гербов. Это дискретная величина с таблицей распределения
Определение 5 . Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует такая вещественная функция
, что
Функция называется плотностью распределения случайной величины
.
В дальнейшем абсолютно непрерывные распределения будут называться просто непрерывными.
Предложение 3 . Пусть случайная величина имеет абсолютно непрерывное распределение с плотностью распределения
Тогда справедливы следующие свойства.
1.
2.
3.
В частности,
4.
5.
Обратно
6., где
непрерывна
.
7.
Задача 2 . Доказать предложение 3.
Свойства 1 и 2 являются характеристическими свойствами плотности распределения. Любая функция , обладающая свойствами 1 и 2, является плотностью распределения некоторой случайной величины
. Из свойства 3 мы видим, что, зная плотность распределения, мы можем восстановить и все распределение.
Пример 2. Из отрезка случайным образом выбирают точку, Ј-координата выбранной точки.
Используя геометрическое определение вероятности, получаем
,
и
,
Это равномерное распределение на отрезке
Кроме дискретных и абсолютно непрерывных, существуют еще так называемые сингулярные распределения. В нашем курсе мы не будем рассматривать распределения такого типа.
Определение 6. Пусть - конечное или счетное множество,
- некоторый набор положительных чисел, а
- некоторая неотрицательная функция. Распределение случайной величины называется смешанным, если
называется дискретной компонентой, а плотность
- непрерывной компонентой распределения с.в.
. Числа
называются весами соответствующих компонент. Ясно, что . Если распределение содержит только одну компоненту, то оно называется чистым.
Пример 3 . Из отрезка случайным образом выбираем точку
,
Такого типа преобразования часто применяются в теории страхования. Случайная величина имеет две дискретные точки
и
с вероятностями
,
и равномерное распределение на отрезке
, т.е.
при
. Веса компонент равны
и
Примеры стандартных распределений
В этом разделе мы приведем несколько примеров дискретных и непрерывных распределений, которые применяются как при исследовании теоретических вопросов, так и при решении практических задач.
1. Случайная величина имеет вырожденное в точке
распределение, если
Фактически мы имеем не случайную величину, а константу.
2. Случайная величина называется индикатором события
, если
Это дискретная случайная величина с множеством значений
и вероятностями значений
. Ее распределение называется распределением Бернулли с параметром
. Обозначение:
Индикатор события является в некотором смысле ’’элементарным кирпичиком” при построении произвольных дискретных случайных величин.
Задача 3 . Пусть есть дискретная случайная величина с множеством значений
и вероятностями значений
. Обозначим
. Тогда V
Ю
3)
3. Дискретная случайная величина имеет биноминальное распределение с параметрами
и
, если
и
В этом случае будем писать . Здесь
- целое число,
. Эта случайная величина есть число успехов в п независимых испытаниях схемы Бернулли. Такие величины часто появляются в теории страхования, социологии, экономике, физике и других науках.
4. Дискретная случайная величина имеет геометрическое распределение с параметром
, если
и
Здесь . Эта случайная величина равна числу испытаний в схеме Бернулли, предшествующих появлению первого успеха.
5. Дискретная случайная величина имеет отрицательное биноминальное распределение с параметрами
и
,
-целое,
, если
и
При = 1 получаем геометрическое распределение. Эти случайные величины равны числу испытаний в схеме Бернулли, предшествующих появлению
-го успеха. Это распределение часто используется в теории страхования при описании числа исков, поступивших в страховую компанию за определенный промежуток времени.
6. Дискретная случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром
, если
и
Появляется как предельный случай для биноминального распределения, если . Часто используется в теории страхования, теории массового обслуживания, теории надежности и других прикладных разделах теории вероятностей. Описывает, как правило, число исков, заявок, отказов, поступивших за определенный промежуток времени.
7. Случайная величина имеет равномерное на отрезке
распределение, если у нее существует плотность
Эта модель часто используется для описания распределения случайного момента времени, если известно, что он меняется в ограниченном интервале.
8. Случайная величина имеет показательное распределение с параметром
, если она обладает плотностью
Это распределение обладает целым рядом замечательных свойств и часто используется при описании времени между поступлениями двух последовательных заявок, исков, отказов и т.п.
9. Случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами
, если оно обладает плотностью
где
есть гамма-функция Эйлера. Напомним, что гамма-функция обладает следующими свойствами:
Это распределение находит применение в теории массового обслуживания, теории надежности, теории страхования и риска и других прикладных разделах теории вероятностей. При
получаем показательное распределение с параметром
.
10. Случайная величина имеет нормальное (гауссовское) распределение с параметрами
,
, если оно обладает плотностью
Мы будем использовать обозначение
Если , то мы имеем стандартное нормальное
распределение. В этом случае
Функция есть функция распределения стандартного нормального закона. Часто используется другая функция
которая называется функцией Лапласа или интегралом вероятностей. Справедливы следующие соотношения:
Для функций ,
и
составлены подробные таблицы
(смотри, например, Большев Л.H., Смирнов Н.И. ’’Таблицы математической статистики”). Ниже будет показано: если , то случайная величина
имеет стандартное нормальное распределение. Таким образом, зная
или
, мы можем вычислять вероятности для случайных величин с произвольным нормальным распределением. Например,
т. е. практически достоверно, что случайная величина
отклоняется от точки а на расстояние не более
. Этот результат часто применяется на практике и носит название ’’правило трех
”.
Функциональные преобразования случайной величины.
Одной из наиболее важных прикладных задач, связанных со случайными величинами, является задача нахождения распределения функции от случайной величины. При этом в качестве функционального преобразования нужно брать такое, чтобы мы получили вновь случайную величину.
Определение 7. Функция :
называется борелевской, если
множество
также является борелевским.
Если есть случайная величина, а
борелевская функция, то также является случайной величиной. Действительно,
Тогдаявляется случайным событием для любого
Найдем распределение с.в.. По определению
т. е.
Покажем, как это можно записать в терминах функций распределения. В общем случае это сделать не удается, но в некоторых специальных случаях можно получить удовлетворительные результаты.
Предложение 4 . Пусть - строго монотонная функция.
Тогда для мы имеем
, если
строго возрастает, и
, если
строго убывает.
Доказательство. Докажем результат для случая строго возрастающей функции. Второй случай доказывается аналогично. По определению функции распределения
Примеры.
1.. Тогда для
получаем
В частности, еслиимеет плотность
, то существует
2. Если , то
Рассмотрим теперь подробнее случаи дискретного и абсолютно непрерывного распределений.
Если имеет дискретное распределение с множеством значений
и вероятностями появления значений
, то случайная величина
также будет иметь дискретное распределение с множеством значений
, где
для некоторого
, и вероятностями значений
Пример. Случайная величина имеет дискретное распределение следующего вида:
Тогда случайная величина является дискретной и принимает значения 0,1 и 4 с вероятностями
,
,
Если имеет непрерывное распределение с плотностью
, то распределение случайной величины
может и не являться непрерывным. Более того, оно может быть даже дискретным.
Пример, имеет равномерное на
распределение,
Случайная величина принимает два значения 0 и 1 с равными вероятностями
Таким образом, на функцию необходимо наложить некоторые дополнительные ограничения. Один частный, но практически важный случай рассматривается в следующей теореме.
Теорема 1 . Пусть с.в. имеет непрерывное распределение с плотностью
,
- строго-монотонная дифференцируемая функция. Тогда с.в.
также имеет непрерывное распределение и ее плотность имеет вид
Доказательство. Проведем доказательство для случая, когда строго возрастает. Пусть
такая точка, что
Используя правила дифференцирования сложной и обратной функций, получаем
. Тогда
Доказательство для строго убывающей функции аналогично.
Аналогичную теорему можно сформулировать и для случая немонотонных функций . Но такого рода результат редко используется в реальных задачах. Обычно легче провести заново все расчеты в каждом конкретном случае.
Пример. С.в. , найти распределение с.в.
Новая случайная величина принимает только положительные значения. Пусть
I.